Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
2H = (M, М) + (q, IT1Aq),
Ji = (M, IT1AM) - IT3A1A2Alqv I1A-1 q).
Обозначим через s 1, s2, S3, S4 корни уравнения
/С*)= 0,
/(s) = [s2 - s(Тг (/ГМ) - 2Н) -Ji]2-
- 4IT2Pl (* - IT1A1) (* - IT1A2) (s - IT1A3).
Введем риманову поверхность Г рода 2, заданпую уравнением
у2 = P (Z)1 P (z) = z (z - dl) (z - dl) (z —dl) (z - djdid»),
(5.13)
где величины di, d2, du определены равенствами
Ці/^/?/?+
253 Формулы, описывающие динамику траекторий системы (5.11), имеют вид [105, 163]
= . 8 Ы (»„ + UQ 9 [mk] (wo)- Є [rft1 (w„) 9 (*„ + Uf)
9h ft0 Ы (zo + uO 0M W - e i"k\ (w0)0 [Pk] (\ + ш)'
(5.14)
Здесь тэта-функции 9(zi, z2) и вектор U построены по кривой Г (5.13), их характеристики гк, тк, пк, рк зависят от взаимного расположения корней многочлена (5.13), постоянные векторы zo, Wo определяются по начальным условиям (см. [105]).
Формулы (5.14) определяют в силу (5.3) зависимость от времени углов Эйлера 0,. г|). Зависимость от времени угла Эйлера ф определяется интегрированием соотношения (5.7).
§ 6. Интегрируемые случаи уравнений вращения твердого тела в нелинейных гравитационных полях
Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в гравитационном поле с потенциалом вида з
Ф = 4 2 «ар(|х|)ЛР, I Х| = ((ХУ + (Х*? + (ХУ)1/2, a,?=l
(6.1)
где Oos(IxI)—произвольные дифференцируемые функции переменной Ixl. Ньютоновские потенциалы вида (6.1), удовлетворяющие уравнению Лапласа Дф = 0, определяются формулами
(3 * 3
S V^l+ 2 b«p®V + c Ixf1, a,?=i J <x,?=i
СИ-!-?22+033 = 0, Ьц + Ь22 + &33 = 0.
Введем следующий четырехкомпонентный тензор, симметричный по двум парам индексов а, ? и г, к и обобщающий тензор инерции Iik (3.4):
Tatik = { P (г) a«? (I г I) {Sih 2 ('"O2 - r^ftI dr1 dr2 dr*. (6.2)
T \ 1=1 }
Теорема 3. Если тензор Tam допускает представление
Tafrik -'AafrIik + Ba?Oifc + OafrCik, (6-3)
254 где А, В, С — произвольные симметрические матрицы, то вращение твердого тела T в гравитационном поле с потенциалом (6.1) вокруг неподвижной точки O(^1 = O) является вполне интегрируемым по Лиувиллю и интегрируется в Q-функциях римановых поверхностей.
Если аац( Ixl ) = const, то условия (6.3) очевидно выполнены, поэтому теорема 3 является обобщением теоремы 2. Если твердое тело T является шаром, плотность которого имеет вид
р (г) ='pi(r/[r|)-p2(|r|),
то условия (6.3) выполнены при произвольных функциях Oas(IxI) (при этом Stzfi = Cjft=iO), поэтому вращение такого твердого тела в поле с произвольным потенциалом вида (6.1) является вполне интегрируемым по Лиувиллю.
Пусть ортогональная матрица Q(t) определяет преобразование из лагранжевых координат г\ связанных с системой отсчета S, в эйлеровы координаты хг: хг = з
= 21 Qk (0 rh¦ По определению Q =• Qa, где (о — матрица
ft=і
угловой скорости. В системе S потенциал (6.1) имеет вид Ф = 2~* 2 aap(|r|)<%<??rV. (6.4)
Компоненты момента гравитационных сил, действующих на твердое тело в поле с потенциалом ф (6.4), определяются формулами (всюду по повторяющимся индексам производится суммирование)
К. = J (г Xpg). ^ Vr* =
T
= j WrmP (г) (I г I) QlQb-1 dr1 dr2 dr\ (6.5) т
Кососимметрическая матрица К, соответствующая в силу изоморфизма (2.3) вектору момента сил (6.5), имеет следующие компоненты:
Kjh = - EijhKi = TamQahQf - TamQfQf. (6.6)
После подстановки выражения (6.3) в формулу (6.6) и суммирования по а, ? находим, что слагаемые, включающие матрицы Bafl, Cik, сокращаются в силу
255 симметричности этих матриц. В итоге получаем равенство Kjk = InAaiQlQ^l - IkMfQf. (6.7)
Введем матрицу U = QtAQ. Равенство (6.7) в матричном виде означает K = Iu — ul = — [и, I]. Поэтому уравнения (3.10), определяющие изменение матрицы кинетического момента и матрицы и (в силу Q = Qut), имеют вид, совпадающий с системой уравнений (3.14). Эти уравнения полностью определяют вращение твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с потенциалом (6.1) при выполнении условий (6.3). Поэтому теорема 3 следует из теорем 1 и 2.
§ 7. Интегрируемость »-мерного аналога задачи о динамике твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом
B дальнейшем и-мердым твердым телом мы будем называть некоторый объем «-мерлого евклидова пространства с распределением плотности р(х), который перемещается без изменения расстояний между его точками. Система S координат г1, .. ., г" жестко связана с твердым телом Г и ее центр O(Tji = O) совпадает с центром масс, т. е. в системе S имеем (dr — элемент объема)
j р (г) rhdr = 0, & = 1, ...,п. (7.1)
т
Координаты Xх, ..., хп относятся к неподвижной системе отсчета F. Силовое поле с ,потенциалом ср (х\ . .хп) называется ньютоновским, если плотность силы, действующей па частицы среды, пропорциональна плотности массы: (х) = — р (х) ду)дх\
Теорема 4. Динамика произвольного n-мерного тела в ньютоновском поле с произвольным квадратичным потенциалом
п
ф (х1, ..., Xn) = J 2 (ацхгх} + ЬіХ1) (7.2)
і,J=I
определяется гамильтоновой системой, интегрируемой по Лиувиллю. Динамика центра масс О интегрируется в элементарных функциях, вращение твердого тела вокруг центра масс интегрируется в тэта-функциях Римана..
