Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
II. Рассмотрим более общую задачу о вращении твердого тела T вокруг неподвижного центра масс О в ньютоновском гравитационном поле произвольного объекта V (который может состоять из нескольких отдельных тел) при условии, что размеры тела T много меньше расстояния до V. Пусть R(x)—расстояние от точки х, принадлежащей V, до точки О, р (х) — плотность массы объекта V, р (я)—единичный вектор, направленный из точки х в точку О. Уравнения вращения твердого тела являются естественным обобщением уравнений (2.1) и имеют вид
M = MXw+ f 3Gp (х) R~3 (х) (р (,г) X Ip (х)) dx,
V (2.2)
р(х) = р(х)Х<о.
Докажем следующую теорему [125].
Теорема 1. Вращение произвольного твердого тела T вокруг неподвижного центра масс О в ньютоновском гравитационном поле любого удаленного объекта V описывается некоторой универсальной вполне интегрируемой динамической системой, не зависящей от параметров объекта V,
Воспользуемся известным изоморфизмом векторов с компонентами Vі в R3 и кососимметрических (3X3) матриц с компоцентами Vjh:
я
V1 -> VjP = — 2 ViSijk, (2.3)
г—1
при котором векторное произведение X X у переходит в коммутатор матриц [X, У] = XY — YX. После этого изоморфизма векторам М, to, р (х) соответствуют кососим-
234 метрические матрицы М, со, р(х). Справедливо соотношение COij = Ik1Mij (і, /, к = 1,2, 3). Система уравнений (2.2) после изоморфизма (2.3) принимает вид
M = [М, ю] + j 3Go (z) R~3 (х) [р (х), Cp (х) + р (ж) С] dx,
V
р(х) = ір(х), со], (2-4)
где матрица С имеет компоненты Cij — (2~' (Ii + h + h) — — Ii) oij. Введем симметрическую матрицу
и = j 3Gp (х) R~3 (х) р2 (х) dx. (2.5)
у
B силу системы (2.4) и очевидных тождеств Ер, Ср + рС] = [р\ С]=~[р2, I] получаем редукцию
М = [М, со] — [и, 1], M = [ti, со]. (2.6)
Система (2.6) полностью определяет вращение твердого тела Т. Здесь матрица и записана во вращающейся системе отсчета S, ее собственные числа в силу второго уравнения (2.6) постоянны и согласно формуле (2.5) определяются характеристиками притягивающего объекта V. B неподвижной системе отсчета F матрица (2.5) постоянна.
Уравнения (2.6) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли L9, элементы которой I представляются в виде I = M + и, где M и и — трехмерные матрицы, M1 = —М, Ut = и\ коммутаторы определены условиями
[М, и] = Mu - иМ, [Mh M2] = M1M2 — M2Mu
[щ, U2] = 0. (2.7)
Орбиты О действия соответствующей группы Ли G9 В
сопряженном пространстве L9 являются симплектиче-скими подмногообразиями M6 =K3 X SO (3) = T(S0(3)) -касательный пучок к группе Ли SO (3). Многообразия M6 определяются УСЛОВИЯМИ к) (и) = const, где Xj (и) — собственные
числе, матрицы If1 GCJIH Я} — Я-2 Xz, то ор-бита о = Mb = іR3 X S2, и если X1 = K2 = X3, то O= R3.
Скобки Пуассона функций на L9 определяются по
235 формулам
</.*>- 2^??' (2-8) дх дх
где Cij — структурные константы алгебры Ли L9 в ба-зисе хг (линейные функции на L9 , например х', по определению принадлежат алгебре Ли L9). Функции Xj(и) или Tr(u), Tr(и2), Tr(и3) являются аннуляторами
скобок Пуассона (2.8), т. е. для любой функции / на L9 имеем {/, Я,(и) 1 = 0. Ограничение скобок Пуассона (2.8) на подмногообразие M6(kj(u)= Cj) невырожденно. Уравнения (2.6) имеют гамильтонов вид
Mii = {Mij, Ю, Uii = (и* Н), (2.9)
где гамильтониан H = Jі = Tr {2~1М ¦ со — иЛ.
Введем матрицу В с компонентами Bii = IJ2I3I^1Sij. Система (2.6) имеет два дополнительных первых интеграла:
/2 = Тг(2-'М2 + Яи), Z3 = Tr {М2и + Bu2). (2.10)
Интегралы Ji, /г, /з очевидно функционально независимы. В силу уравнений (2.9) имеем /2 = (Л, Jii = 0, J з = (/з, /J = O. Прямое вычисление в силу формул (2.7), (2.8) показывает, что скобка Пуассона {/г, /3} = 0, т. е. три интеграла Ji, /г, /з находятся в инволюции. Поэтому гамильтонова система (2.6), (2.9) на шестимерных симплектических подмногообразиях M6 является вполне интегрируемой по Лиувиллю и динамика траекторий является квазипериодической на трехмерных торах T3 в
L9 , определенных условиями Ji = Ci, Xj(u)=kj.
В следующих параграфах приводится другой вывод системы (2.6) и доказывается ее интегрируемость в тэта-функциях Римана.
§ 3. Интегрируемость по Лиувиллю уравнений поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с квадратичным потенциалом
I. В § 3 и § 4 доказывается следующая теорема [125-127].
Теорема 2. Поступательно-вращательное движение произвольного твердого тела T в ньютоновском гравита-
236 ционном поле с произвольным квадратичным потенциалом
з
ф (ж1, X2, х3) = -у 2 IaijXtX3 + ЬіХ1) (3.1)
i,j=l
определяется гамильтоновой системой, вполне интегрируемой по Лиувиллю. Динамика центра масс О интегрируется в элементарных функциях; вращение твердого тела вокруг центра масс интегрируется в тэта-функциях Римана.
Пусть в системе неподвижного наблюдателя F центр масс О твердого тела T имеет координаты ql(t). Определим систему отсчета S с координатами г1, г2, г3, жестко связанную с твердым телом T, в которой тензор инерции твердого тела диагонален и имеет компоненты /« = = Iibih; центр системы S совпадает с центром масс О. Координаты Xі и г1 связаны преобразованием
