Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Богоявленский О.И. -> "Опрокидывающиеся солитоны" -> 71

Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны — М.: Наука, 1991. — 320 c.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка): oprokidivauesoliton1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 97 >> Следующая


[х, Cx + хС] = [ж2, С], [и, С] = — [u, I] получаем следствие

Й = [М, и] —[и, 7], й = [и, <а]. (3.19)

Система уравнений (3.19) очевидно совпадает с системами (2.6) и (3.14).

240 § 4. Интегрирование динамики в тэта-функциях Римана

I. Покажем, что уравнения (3.14) допускают эквивалентное представление в виде уравнения Лакса, зависящего от произвольного параметра E:

L = [L, A], L = BE2+ ME+ и, A = со -EI. (4.1 J

Действительно, уравнение (4.1) является многочленом третьей степени по Е\ условие равенства нулю коэффициентов при Ek приводит к следующим уравнениям:

E3-. [В, /]¦= О, E2-. [В, со] - [М, I] = О,

Ei: Й = [М, со] - [и, I], E0: й = [и, со]. ^ '

Первые два уравнения (4.2) выполнены в силу определения матрицы В и Mii = Ih(s)ii (г, /, A=I, 2, 3); последние два уравнения (4.2) совпадают с системой (2.6), (3.14).

Интегралы (2.10) являются коэффициентами при E2 в разложении функций Tr (L2 (.E)) и Tr(L3(?)) (которые в силу (4.1) не зависят от t) по степеням Е.

Собственные числа wі, w2, W3 матрицы L являются интегралами системы (4.1) и удовлетворяют уравнению

R(w, Е) = det(BZ?2 + ME + u — «; • 1) = 0. (4.3)

Таким образом, с уравнением (4.1) естественно связана риманова поверхность Г, заданная уравнением (4.3). Все коэффициенты уравнения (4.3) являются первыми интегралами системы (3.14) и выражаются через шесть независимых интегралов:

Z1 = Тг(2"'ЛГ -(H-U-I), J2 = Тт{2~1М2 + Ви),

(4.4)

Z3 = Tr {М2и + Bu2), Z4 = Tr(U), Z5 = Tr(u2), Z6 = det(u). Явный вид уравнения (4.3) следующий: R(w, Е) = JceE6 + IeiE4 + Ic2E2 + UwEi + I2W2E2 +

+ Ttl2WE2 + Tl3W3 + Yl2W2 + П\W + щ = 0,

A6 = A2, k = IxI2I3, A4 = -AZi, Z4 = -ATr(Z), (4.5) .A2,= J3 - J1J2 + 2~Ч Tr (Г1) (Jl - /5), Z2= к Tr (Г1), TH2 = J2- к Tr (/_1)/4, И3 = —1, H2 = J11

ni = (Jb — Jl)/2' га0 = /в. Уравнения (4.3)-(4.5) имеют при E °° три корня:

16 О. и. Богоявленский 241 1^ = 5^(1 + Oli?!-1). Поэтому поверхность Г трехлист-. но (и разветвленно) накрывает комплексную прямую Е. Проективное замыкание кривой Г имеет особую точку с координатами хо = W1 = 0, х\ = Ew1 = 0, в которой пересекаются три листа поверхности Г при E ->- Для разрешения этой особенности введем новые координаты Z = -E1-1, W = wE~2, в которых уравнение (4.5) принимает вид

к6 + Ar4Z2 + Ar2Z4 + IiW + I2W2 + m2Wz2 + n3W3 +

+ n2W2z2 + UlWzi + rcoz6 = 0. (4.6)

Уравнение (4.6) при z = 0 имеет три корня: Wi = = Z1Z2Z3Zr1 =Bu которые определяют три точки Z3J, Р\, Р%, осуществляющие неособое замыкание поверхности Г на бесконечности.

Поверхность Г, определенная уравнением (4.5), очевидно, допускает инволюцию о: (w, E)-+(w, —E). Рассмотрим отображение /: (w, E)-+(w, E1==E2) поверхности Г в поверхность Гі = Г/а, заданную уравнением

R1 (w, E1) = к<.Е\ + ktE\ + IeiEl + IiIvE21 + I2W2E1 +

+ Tn2WE1 + n3w3 + n2w2 + U1W + п0 = 0. (4.7)

Уравнение (4.7) имеет степень 3, поэтому род поверхности Гі g-(Гі) = 1 и ее эйлерова характеристика % (T1) = = 0 (Г, =T2). G помощью отображения / несложно вычислить род римановой поверхности Г. Отображение / является разветвленным двулистным накрытием и имеет 6 точек ветвления f{Pi), f(wi); і = 1,2,3, где Wi-три корня (в общем случае) уравнения (4.5) при E = 0. Поэтому по формуле Римана — Гурвица получаем:

Х(Г)=.2Х(Г,) - 6 = -6, г(Г)= 1 - %(Т)/2 = 4.

Отметим, что таким образом для рассматриваемой интегрируемой динамической системы (2.6), (3.14) род соответствующей римановой поверхности #(Г) = 4 больше размерности d = 3 инвариантных торов T3, на которых, как показано в § 2, происходит квазипериодическая динамика.

II. Для полного описания вращения твердого тела необходимо знать зависимость компонент угловой скорости от времени, поэтому нашей целью является получение ЯВНЫХ формул ДЛЯ компонент COi (0* Применяемый метод [131, 19, 58] заключается в построении некоторых ана-

242 литических (кроме конечного числа точек) функций на римановой поверхности Г (функций типа Бейкера — Ахиезера [137, 138]), которые, с одной стороны, зависят от параметров системы (3.14), (4.1), а с другой стороны, в силу теоремы единственности однозначно выражаются через 6-функцию Римана поверхности Г. Такая связь и позволяет найти выражение компонент col (0 через o-функцию Римана.

Выполнение уравнения (4.1) эквивалентно коммутативности матричных операторов F = d/dt + A и L. Рассмотрим совместные собственные вектор-функции этих операторов, удовлетворяющие условиям

^ + Ajipft = O, Lipft=WftOp, R(wk, Е) = 0, к = 1,2,3»

(4.8)

Три вектор-функции ^pft(t, Е) образуют трехмерную матрицу ip(?, Е) с компонентами Ipft (t, Е). Пусть срЕ) — компоненты обратной матрицы ф (?, Е). Определим мат-ричнозначную функцию gl{t, Ръ) от точки Pk = (wh, Е) на римановой поверхности Г формулами

g\{t,Ph) = ^h(t,E)^{^E)- (4.9)

Матрицы ip, ф и g в силу (4.8) удовлетворяют уравнениям *

= — Аїр, g-фА, I = [,,А]. (4.10)

Три вектор-функции iph(t, Е) с компонентами ipi(i, E) естественно также рассматривать как одну вектор-функцию 1р(?, Ph) с компонентами ip'(t, Ph), зависящую от точки Ph = (wh, Е) на римановой поверхности Г: Ip3(t, Pft)= = ipk(t, Е). Аналогично определяются вектор-функция ф(?, Ph) с компонентами фі (t, Pk) = фі(*> Е). Функции ip1 (t, Ph) являются целыми на аффинной части римановой поверхности Г, функции фі(?, Ph) являются меро-морфными, дивизоры их нулей и полюсов в аффинной части Г имеют вид:
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed