Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
231 раниченных на некоторое трехмерное подмногообразие (многообразие Прима).
II. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле с линейным потенциалом ф = а\х1 + CL2X2 + агх3 (уравнения Эйлера — Пуассона) в общем случае не интегрируемы [114]. Только в трех исключительных случаях, найденных Эйлером [93], Лагранжем [103] и Ковалевской [104], возможно интегрирование динамики, при этом в первых двух случаях уравнения интегрируются в эллиптических функциях, а в случае Ковалевской — в тэта-функциях Римана от двух переменных.
Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки О в ньютоновском поле с квадратичным потенциалом (1.2) является классической задачей механики. В этой задаче был известен единственный интегрируемый случай Вруна [112], в котором ньютоновское поле (потенциал ф (1.2)) обладает осевой симметрией (ось проходит через точку 0)\ при этом квадратичный потенциал ф эквивалентен потенциалу ф = а(х1)2 и уравнения, описывающие вращение твердого тела Т, сводятся к интегрируемому случаю Клебша [111] для уравнений Кирхгофа. При этом динамика траекторий является квазипериодической на двумерных торах T2. B малоизвестных работах Бруна [128] указаны два дополнительных интеграла уравнений вращения твердого тела в поле с общим квадратичным потенциалом вида (1.2); в работе Горячева [140] переоткрыт один из этих интегралов и в случае потенциала ц> = а((х1)2—(х2)2) найдены два дополнительных первых интеграла. B названных работах гамильтонова структура уравнений динамики и вопрос об их интегрируемости по Лиувиллю не рассматривались. B исследуемой задаче совместный уровень всех первых интегралов является трехмерным многообразием, как и в самом общем случае уравнений Эйлера — Пуассона. Поэтому в отличие4 от интегрируемых случаев уравнений Эйлера — Пуассона и всех классических интегрируемых случаев [114, 119] здесь метод последнего множителя Якоби, который использовали классики для доказательства интегрируемости, неприменим. По рассматриваемой задаче выполнена также работа [149].
III. B данной главе показано, что уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле с квадратичным потенциалом являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к не-
232 которой девятимерной алгебре Ли L9 и, следовательно, гамильтоновы на шестимерных орбитах M6. Возникающие гамильтоновы системы на симплектических многообразиях имеют три первых интеграла Ji, /2, /з, которые находятся в инволюции (Ji — гамильтониан), и поэтому вполне интегрируемы по Лиувиллю.
Теорема 2 является отражением фундаментального физического факта — равенства инертной и гравитационной масс, вследствие чего кинетическая энергия вращения твердого тела и его потенциальная энергия в ньютоновском поле с потенциалом (1.2) зависят от одних и тех же параметров — моментов инерции твердого тела. Уравнения вращения электрически заряженного твердого тела вокруг неподвижной точки в электрическом поле с квадратичным потенциалом вида (1.2) в общем случае неинтегрируемы.
В условиях теоремы 2 нет никаких дополнительных предположений, кроме предположения о квадратичном виде ньютоновского гравитационного потенциала ф(я). Доказательство интегрируемости динамики твердого тела не зависит от того, удовлетворяет ли потенциал ф(я) уравнению Лапласа. При выполнении уравнения Лапласа Аф(х)=0 имеем an + «22 + азз = 0, поэтому общая траектория центра масс является трехмерной неограниченной кривой. В этом случае существуют также и ограниченные (при всех t) траектории центра масс, которые необходимо являются плоскими (задача о гармоническом осцилляторе).
Теорема 2 применима для описания поступательно-вращательного движения произвольного твердого тела в окрестности точек экстремума (внешнего) ньютоновского потенциала, где квадратичное приближение (1.1) является достаточно точным. Другой областью применений теоремы 2 является исследование динамики твердого тела в поле притяжения произвольных удаленных объектов при условии, что расстояние до этих объектов R много больше характерного размера тела I.
§ 2. Интегрируемость по Лиувиллю уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижного центра масс в поле удаленных притягивающих объектов
I. Известной задачей механики является задача о вращении произвольного твердого тела T вокруг его неподвижного центра масс в сферически-симметричном
233 ньютоновском поле материальной точки Р, имеющей массу т. Если расстояние R от точки P до точки О много больше линейных размеров I твердого тела Т, то уравнения вращения в главном приближении по UR имеют вид [119, 130, 159J
M = MXffl + 3GmR-3p X /р, p = pXto, (2.1)
где M и M — векторы кинетического момента и угловой скорости тела в системе отсчета S, жестко связанной с вращающимся твердым телом, в которой тензор инерции тела диагонален: Iik = IiSik, G — гравитационная постоянная. Уравнения (2.1) проинтегрированы в явном виде [119, 130] и определяют интегрируемый случай Бруна, совпадающий с интегрируемым случаем Клебша.
