Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
2) Динамика твердого тела с распределенным электрическим зарядом в идеальной несжимаемой жидкости при наличии постоянного гравитационного и электрического полей и при условии равенства выталкивающей силы и силы тяжести и нулевом суммарном заряде тела.
Уравнения движения в связанной с твердым телом системе отсчета S, центр которой совпадает с центром масс твердого тела, при условии безвихревого обтекания имеют вид
M = MXwipXu + mgv X у + EdX
(2.5)
p = p^<fi>, Y = Txw! 6 = SX
222 где О) — угловая скорость, и — скорость твердого тела в жидкости, р — полный импульс, M — полный момент импульса (в системе отсчета S), т — масса тела, g — ускорение силы тяжести, у — направление силы тяжести, вектор г определяет положение центра масс вытесненного объема жидкости, E — напряженность электрического поля, d — вектор дипольного момента, 8 — направление электрического поля. Уравнения (2.5) являются уравнениями Эйлера в пространстве L12 и имеют гамильтониан з
H = 2-1 2 (Ui3MiMi + 2cijMiPj + hjpipj) —
г,
— mg (г, у) — Е( d, 8), _ дН _ дН dpi'
где а«, Ьц, Cii — произвольные постоянные коэффициенты, обеспечивающие положительную определенность указанной квадратичной формы.
При Е — 0 уравнения (2.5) являются уравнениями Эйлера в пространстве L9, где алгебра Ли Lg имеет коммутаторы вида (2.4) при а, ? = 1, 2. При E = О, g = О уравнения (2.5) переходят в уравнения Кирхгофа (уравнения Эйлера в пространстве El Ц16].
3) Вращение намагниченного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном гравитационном и магнитном поле.
Уравнения динамики в системе отсчета S имеют вид
M = MXffl+ mgi X у + Ш X 8, Y = Yx^5 8 = 8Х<я,
(2.6)
где ШЇ — вектор магнитного момента твердого тела, 8 — направление магнитного поля, h — его напряженность. Уравнения (2.6) являются уравнениями Эйлера в пространстве L9 с гамильтонианом
з
H = 2~х (М, <») - mg (г, f) — h (ЗЯ, 6), Mi = S hk^k-
k=i
При 271 = 0 уравнения (2.6) переходят в классические уравнения Эйлера — Пуассона, которые являются уравнениями Эйлера в пространстве Е% в смысле (2.2).
223 4) Динамика твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной магнитной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение (модель вращения пульсара) .
Уравнения динамики в системе отсчета S имеют вид
M = MXA1 K = KXB + uXw, u = uXB, (2.7)
где M — суммарный момент количества движения твердого тела и жидкости относительно общего центра масс, А — угловая скорость вращения твердого тела, В — угловая скорость внутреннего вращения жидкости, К — вектор вихря скорости жидкости, векторы Uhw связаны с магнитным полем, вмороженным в жидкость. Координаты векторов А и В линейно выражаются через координаты векторов M и К, координаты векторов и и w также связаны линейными соотношениями. Уравнения (2.7) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли SO (З)®^ и имеют гамильтониан
5) Динамика твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Уравнения динамики в системе отсчета S имеют вид
где а = 1, ..., п, M — суммарный момент количества движения (относительно неподвижного общего центра масс) твердого тела и жидкости во всех эллипсоидальных полостях, А — угловая скорость вращения твердого тела, вектор Kos определяет ротор (вихрь) скорости движения жидкости в а-полости. Векторы А, Bi, ..., Bn связаны с векторами М, Ki, ..., Kn линейным преобразованием, коэффициенты которого зависят от компонент тензора инерции твердого тела, параметров эллипсоидальных полостей и плотности жидкости в них. Обозначим через Ak0 = SO (3) © ... ® SO (3) прямую сумму к экземпляров алгебры Ли SO (3). Уравнения (2.8) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли А„+1,о и имеют гамильтониан
Я = 2-1((М, А)+{К, В)+ (u, vi)).
M = MXA, Ka = KaXB,
'а,
(2.8)
(2.9)
224 Уравнения (2.8) имеют п + 1 геометрических первых интегралов
Z0 = (M1M), Za=(KajKa), a = 1, ..., п.
Совместные (ненулевые) уровни этих интегралов определяют симллектические подмногообразия М2п+2, являющиеся произведениями п + 1 двумерной сферы S2, M2njr2= = S2 X ... X S2, на которых уравнения (2.8) гамильтоновы с гамильтонианом H (2.9).
Уравнения (2.8) при п = 1 переходят в уравнения Лэмба — Жуковского — Пуанкаре, которые являются уравнениями Эйлера на алгебре Ли SO(3) + SO(3) = = SO (4).
6) Динамика твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой сверхпроводящей магнитной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.
Уравнения динамики в системе отсчета S имеют вид
M = MXA, Ka = KaXBa+ uaXwa, ua = uaXBa, (2.10)
где a = l, ..., п, M — суммарный момент количества движения (относительно общего центра масс) твердого тела и жидкости во всех эллипсоидальных полостях, А — угловая скорость вращения твердого тела, векторы Ka, Ba, ua, wa характеризуют движение жидкости и вмороженное магнитное поле в a-полости. Координаты векторов А, Bi, ..., Bn линейно выражаются через координаты векторов M, Ki, ..., Kn, координаты векторов Ua и Wa связаны линейными соотношениями; коэффициенты этих линейных связей зависят от компонент тензора инерции твердого тела и параметров эллипсоидальны* полостей. Обозначим через AKm = S0(3) ® ...® SO(3) ® 2?з ® ... ® E3 прямую сумму к экземпляров алгебры Ли SO (3) и т экземпляров алгебры Ли E3. Уравнения (2.10) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли L = Aiin и имеют гамильтониан
