Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
ип = (еи*)х. (5.3)
Уравнение (5.3) лагранжево с лагранжианом
L = JI (т и* ~ехр Цж)dt dx' ^5'4^
Эквивалентная форма уравнения (5.3) имеет вид
Vtt = VtVxx. (5.5)
Здесь функции и(t, х) и v(t, х) связаны соотношениями
Ut — Vx, Vt = ехр Ux, (5.6)
которые разрешимы в силу уравнения (5.3).
Утверждение 1. Уравнение (5.5) для решений, имеющих асимптотику v (t, х) -*¦ с± при х -*¦ имеет счетное множество первых интегралов (m = 1, 2, ...)
[m/2] __
In = Y -^- Г vT*v\dx. (5.7)
^0 (m-2fc!)(fc!)2 Joo
Доказательство. Рассмотрим в алгебре линейных операторов на пространстве гладких функций на прямой уравнение Лакса со спектральным параметром Е:
^ЬЩіїІ = [L (Е, t), А (Е, і)], (5.8)
где линейные операторы L {Е, t) и А (Е, t) имеют вид hi?, t) = Ea(t, ®)Р,+ b{t, х) +E-1P-,,
А(Е, t)= -E-4~xa{t, х)Ре. ( '
Здесь a(t, х), b(t, х) — некоторые гладкие функции, Pe— оператор сдвига
Р.(ф)'(г) = Ф(«+е), (5.10)
являющийся автоморфизмом в алгебре функций на прямой. Уравнение (5.8), (5.9) эквивалентно уравнениям
да (J, х) . , b(t, x + e) — b(t, х)~ *
— a{t, х) 5 ,
, дЬ{і\х) - 4 (в <*. ®) - в (*. ^ -е))'
206 Уравнения (5.11) после перехода к пределу при е -*¦ О принимают вид
да _ дЬ дЪ _ да . „.
В силу второго уравнения (5.12) существует функция V (t, х), удовлетворяющая равенствам
a —Vt, b = vx. (5.13)
Первое уравнение (5.12) после подстановки формул (5.13) переходит в уравнение (5.5). Уравнения (5.11) при любом є эквивалентны уравнению Лакса (5.8), (5.9), к которому применима лемма 1 из § 1 гл. VII. Поэтому уравнения (5.11) имеют счетный набор первых интегралов Im, которые являются интегралами но х от коэффициента при нулевом сдвиге в операторе
L (E,t)m = {Ea{t, x)F* + b{t, x) + E~l P_s)m. (5.14)
При є -»- 0 уравнения (5.11) переходят в уравнение (5.5)'. Поэтому первые интегралы Zm уравнений (5.11) при е О переходят в первые интегралы уравнения (5.5). Коэффициент при нулевом сдвиге в операторе (5.14) при є -*¦ О переходит в коэффициент ст при E0 в разложении функции
(Ea{t, x)+b(t, х) + Е~1)т
по степеням параметра Е. Этот коэффициент ст определяется формулой
[W/2]
Cm= Y -—-rakbm~2h. (5.15)
^0 (m — 2к)\ (к\)
Поэтому после подстановки (5.13) получаем первые интегралы (5.7) уравнения (5.5). Утверждение 1 доказано. Первые нетривиальные интегралы Im имеют вид
oo oo
h = j (vX + 2Vt) dx, Is = J (i^-j- 6VxVt) dx,
— oo —oo
oo
h = J + 12V2xVt + 6vt) dx.
—oo
Простейшее автомодельное решение уравнения (5.3) имеет вид
u(t, х)=2х\n(x/et).
207 II. Покажем, что уравнения (5.3), (5.5) имеют решения, которые с течением времени становятся миогознач-ными. Уравнение (5.3) после дифференцированйя по х
и замены их — w принимает вид
Wtt=(Bxpw)xx. (5.16)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Wf = є (exp w/2) wx, є = ±1. (5.17)
Дифференцируя уравнение (5.17) по t и подставляя выражение Wt, в силу (5.17) получаем
wtt = (exp w) Wx + (exp w) wxx = (exp w)xx.
Поэтому любое решение уравнения (5.17) является также решением уравнения (5.16). Уравнение (5.17) после замены / = ехр(ш/2) переходит в классическое уравнение опрокидывающейся волны Римана
/, = 8//,, е = ±1. (5.18):
В силу уравнения (5.18) каждая точка графика функции f(t, х) перемещается при изменении времени t горизонтально со скоростью є/. Такое изменение графика приводит к явлению «перехлеста» — возникновению неоднозначности функции f(t, х). B газовой динамике это явление служит формальной причиной возникновения ударных волн. Таким образом, уравнение (5.16) (и следовательно, уравнения (5.3), (5.5)) имеет решения, удовлетворяющие уравнению (5.17) — (5.18), которые при изменении времени t становятся многозначными.
III. Укажем континуальный предел [12] двумеризо-ванной цепочки Тода [51]. Для этого введем в ее уравнения (с помощью растяжения функций qk(t, х) и времени t) параметр є:
<s-»>
Предположим, что существует гладкая функция u(t, х, у) такая, что qh(t, x) = u(t, х, ук), где ук = ке. После указанной подстановки и перехода к пределу при є 0 уравнения (5.19) переходят в уравнение
Utx = [eUy)y. (5.20)
208 Уравнение (5.20) является лагранжевым с лагранжианом
L = JiJ J utux — ехр Uyj dt dx dy. (5.21)
Эквивалентная форма уравнения (5.20) имеет вид
Vtx = ViVyy. (5.22)
Здесь функции u(t, х, у) и v(t, х, у) связаны соотношениями
u1 = Vy, Vt = ехр иу, (5.23)
которые разрешимы в силу уравнения (5.20). Уравнение (5.20) после подстановки
u(t, х, у) = у (ф (f, х) + In у2 - 2 - In 2) (5.24)
переходит в уравнение Лиувилля для фупкции ф(і, х):
ф4я = ехр ф. (5.25)'
Замена (5.24) после использования точных формул для решений уравнения Лиувилля приводит к следующим точным решениям уравнения (5.20):
и (t, х, у) = у In V1A'(х)В'(t) +C(X) + D w _ 2 (5i26) V ' (Л (г) + B (t)) w w 4 '
где A (x), B(t), C(x), D (t) — произвольные функции. Уравнение (5.20) после подстановки
u(t, х, у) — cp(t, х)+ y(ln(by)- 1)
переходит B неоднородное волновое уравнение фгж = Ъ. Поэтому уравнение (5.20) имеет следующие точные решения:
