Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
(6.29)
Из уравнений (6.27), (6.29) следуют уравнения
*-//„, i.-ggv (і)гт(ті' «
каждое из которых совпадает с уравнением опрокидывающейся волны Римана. Поэтому любое непостоянное решение уравнений (6.27), (6.29) при изменении независимых переменных становится многозначным. Следовательно, и соответствующие решения уравнений (6.24), (6.26) многозначны. ЧАСТЬ III
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА НА КОАЛГЕБРАХ ЛИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ГЛАВА IX
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА НА КОНЕЧНОМЕРНЫХ КОАЛГЕБРАХ ЛИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
До недавнего времени считалось, что уравнения Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли, возникающие в физических задачах, обязаны обладать малой размерностью (вследствие трехмерности физического пространства). Были известны примеры таких уравнений, связанные с трехмерной алгеброй Ли SO (3) (собственно уравнения Эйлера вращения свободного твердого тела) и шестимерными алгебрами Ли S0(3) ® S0(3) = S0(4) и Ez (уравнения Лэмба — Жуковского — Пуанкаре, уравнения Кирхгофа, уравнения Эйлера — Пуассона (см. [116, 117])).
В данной главе показано, что уравнения Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли сколь угодно большой размерности возникают в следующих двух группах физических задач:
— вращение твердого тела, имеющего неподвижную точку, под действием различных физических полей и при наличии в твердом теле произвольного числа эллипсоидальных полостей, заполненных идеальной несжимаемой (магнитной) жидкостью, совершающей однородное вихревое движение (§ 2);
— вращение спутника Земли вокруг центра масс, движущегося по круговой орбите, при учете воздействия неоднородности гравитационного поля Земли и ее магнитного поля, а также при наличии на спутнике емкостей эллипсоидальной формы, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью (§ 3).
В § 1 приведен краткий исторический обзор классических работ, в которых исследовались уравнения Эйлера вращения «-мерного твердого тела.
217 § 1. Классические исследования уравнении Эйлера вращения п -мерного твердого тела
Классические уравнения вращения свободного трехмерного твердого тела вокруг центра масс были выведены Леонардом Эйлером в 1758 году [93]:
M = MXa. (1.1)
Здесь М, «и — векторы момента количества движения и
угловой скорости твердого тела во вращающейся системе
отсчета, координаты которых связаны соотношениями з
Mi = 2 IjfeMft, где Itt — компоненты тензора инерции й=1
твердого тела.
Постановка вопроса о re-мерных обобщениях уравнений Эйлера была дана Артуром Кэли в 1846 году в работе «О свойствах косых детерминантов» [94].
В 1875 году В. Фрам в работе [95] построил ?г-мер-ные обобщения уравнений (1.1) и представил их в виде
Tik-Jf =IS (^feu—Тщ)ГщГк р., (1.2)
H
где переменные величины rih кососимметричны (rih = = — гы), а постоянные Tih симметричны (Tik = Tki), і, к, fi = l, 2, ..., п. В. Фрам нашел ряд первых интегралов уравнений (1.2) и указал их вывод из принципа наименьшего действия. Также В. Фрам отметил, что при п = 4 для интегрируемости уравнений (1.2) достаточно найти еще один дополнительный первый интеграл.
В 1891 году Ф. Шоттки в работе [96] открыл первый интегрируемый случай динамики четырехмерного твердого тела. В этом случае коэффициенты Tih (1.2) удовлетворяют условиям
Tih = Ai + Ah. (1.3)
Ф. Шоттки удалось свести интегрирование системы (1.2), (1.3) при п = 4 к квадратурам.
В 1901 году Анри Пуанкаре в работе [97] вывел следующие уравнения в сопряженном пространстве к произвольной алгебре Ли:
5 ft,г '
где Clhtі — структурные константы в коммутационных со-
218 отношениях дифференциальных операторов, представляющих рассматриваемую алгебру Ли
XiXh — XhXi = 2 Cih,SXS. (1 -5)
А. Пуанкаре вывел уравнения (1.4) из принципа наименьшего действия и отметил, что уравнения Эйлера вращения твердого тела являются частным случаем уравнений (1.4), причем величины Qs определяют момент сил, действующих на твердое тело.
В 1923 году Герман Вейль в книге «Пространство, Время, Материя» вывел «в качестве упражнения по тензорному исчислению» уравнения свободного вращения и-мерного твердого тела:
(Ti + Th) ^ = (Th - Ti) (vv)ih, (1.6)
где vih — компоненты кососимметричной матрицы V.
Уравнения вращения четырехмерного твердого тела были выведены с помощью алгебры кватернионов в 1942 году В. Бляшке в книге «Неевклидова геометрия и механика» [99].
В 1951 году О. Боттемой и X. Бефом в работе [100] были переоткрыты уравнения вращения и-мерного твердого тела, которые были представлены ими в виде
со«(Ai + Aj) + (Ai - A1) (OtmCOjm = 0, (1.7)
где (OiJ = —COii. О. Боттема и X. Беф указали простейшие первые интегралы уравнений (1.7) и исследовали в работе [101] стационарные вращения четырехмерного твердого тела, не зная, что в 1891 году Ф. Шоттки была решена общая задача (при п = 4).
B 1966 году В. И. Арнольд в работе [102] определил уравнения Эйлера в сопряженном пространстве L* к произвольной алгебре Ли L в виде
M = ad*(M)M, (1.8)
где вектор Met* и a(M) — линейный самосопряженный оператор из пространства L* в L. В работе [102] показано, что гидродинамические уравнения Эйлера представляются в виде уравнений (1.8) в коалгебре Ли группы Ли диффеоморфизмов евклидова пространства.
