Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
После работы [102] появилось большое количество работ, в которых изучались уравнения вида (1.8) (их библиография имеется в обзорах [164, 165]). При этом
219 результаты В. Фрама [95], ф. Шоттки [96], А. Пуанкаре [97], Г. Вейля [98] оказались в определенной степени забытыми, были вновь переоткрыты и существенно продвинуты.
§ 2. Уравнения Эйлера на коалгебрах Ли, связанные с динамикой твердого тела, имеющего
неподвижную точку, и с движением тела в жидкости
I. В данном параграфе указаны физические задачи, связанные с динамикой твердого тела, имеющего неподвижную точку, в которых возникают уравнения Эйлера на коалгебрах Ли сколь угодно большой конечной размерности. Связь исследуемых уравнений с алгебрами Ли приводит к их гамильтоновости и существованию ряда первых интегралов динамики, что является крайне важным для нахождения интегрируемых случаев. Отыскание интегрируемых случаев в различных задачах динамики твердого тела является классической проблемой математической физики, имеющей большую и яркую историю. Важнейшие интегрируемые случаи были открыты Л. Эйлером [93], Ж. Лагранжем [103], С. В. Ковалевской [104], В. А. Стекловым [105, 106], А. М. Ляпуновым [107], С. А. Чаплыгиным [108, 109], Д. H. Горячевым [110], А. Клебшем [111], Ф. Вруном [112] и др. Все перечисленные интегрируемые случаи найдены в задачах, описываемых системами из шести обыкновенных дифференциальных уравнений; динамика их траекторий происходит на двумерных инвариантных торах.
В данном параграфе показано, что классические уравнения Эйлера [93] вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в произвольном ньютоновском поле связаны с некоторой двенадцатимерной алгеброй Ли. При исследовании вращения пульсаров (нейтронных звезд) выведена динамическая система, связанная с девятимерной алгеброй Ли SO (3)®?з. Показано, что динамика твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, описывается уравнениями Эйлера на алгебре Ли L — SO (3) ® ... ® SO (3) размерности 3п + 3; при наличии в полостях магнитной жидкости размерность возникающей алгебры Ли L = = SO(3) ® E3 ® ... ® E3 равна 6п + 3.
При исследовании этих примеров было обнаружено, что определение (1.8) не охватывает ряда важных физи-
220 ческих уравнений, связанных с алгебрами Ли: например, классические уравнения вращения твердого тела в общем потенциальном поле сил, выведенные Эйлером в работе [93], не могут быть представлены в виде (1.8). Поэтому в дальнейшем используется другое, более широкое определение уравнений Эйлера, данное Анри Пуанкаре в работе [97] (см. (1.4)).
Пусть L — это гс-мерная алгебра Ли, L* — ее сопряженное пространство, Х\, ..., хп — координаты на L*. Линейные функции xi, ..., хп по определению принадлежат алгебре Ли L и образуют базис; пусть Cij— структурные константы алгебры Ли L в базисе х\, ..., хп. В пространстве функций на L*, как известно, определена скобка Пуассона — Ли
{/,й- І Cfage1L, (2.1)
M-Ift=I 4 '
которая естественно связана с симплектической структурой Березина, Костанта, Кириллова. Пусть Н{хi,..., хп) — произвольная функция на сопряженном пространстве L*.
Определение. Уравнениями Эйлера в пространстве L* называется система уравнений
п
= {**, Я}= 2 Clxk^L. (2.2)
M=I 3
Уравнения (2.2) очевидно совпадают с уравнениями (1.4) при Qt = O после преобразования Лежан^ра. Уравнения (2.2) в специальном случае, когда гамильтониан Н(хі, ..., хп) является однородным многочленом второй степени, переходят в уравнения вида (1.8).
II. Перечислим важнейшие физические задачи, приводящие к уравнениям Эйлера в смысле (2.2), которые ранее исследовались в цикле работ автора [121—127].
1) Вращение твердого тела T вокруг неподвижной ТОЧКи в НЪЮТОНОвСКОМ ПОЛЄ С ПОТенЦиаЛОМ ф(Х[, Х2, Хъ).
Пусть а, ?, if — три орта неподвижной системы координат, отнесенные к системе отсчета S, жестко связанной с твердым телом. Уравнения вращения твердого тела в системе S имеют вид
V» ,SU.. , du а , OC7
M = MX<o + ^X« + ^X? + ^XY, (2-3)
а = а X ю, *? = ? X w, Y = Yxto.
221 где U («, ?, у) — потенциальная функция,
U (ос, ?, у) = Jp (г) ф ((г, а), (r, ?), (г, v)) ^r1Ayir8, т
И ги r2, T3 — координаты в системе отсчета S.
Уравнения (2.3) являются уравнениями Эйлера вида (2.2) в пространстве L12 и имеют гамильтониан
H = 2-1 (М, (H)-U (а, ?, у), Mi = 2 Iikah.
ft=і
Соответствующая алгебра Ли ?12 является полупрямой суммой SO(3) + tR3 + R3 +K3 с базисом Xi, Yf, i, j, а, ? = = 1, 2, 3, в котором коммутационные соотношения имеют вид
[Xi, Xj] = EijftXfe, [Xi, Yf] = EijhYl [Yf, Y?] = 0. (2.4)
В силу уравнения Лапласа Дф = 0 потенциальная функция U (а, ?, у) удовлетворяет трем уравнениям (і = 1, 2, 3):
Cj2Ij ?ри_ дЧ)_ _ „ да? o?f + ду* ~ '
Очевидно, что нелинейность функции U(а, ?, y) может быть сколь угодно сложной, поэтому в общем случае уравнения Эйлера (2.3) нельзя представить в виде уравнений (1.8) (для которых гамильтониан H необходимо квадратичен). B простейшем случае, когда потенциал ф является линейной функцией координат ф = ахх\ + а2Х2 + + аъхз, уравнения (2.3) эквивалентны уравнениям Эйлера — Пуассона и также не могут быть представлены в ви-де (1.8).
