Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
OFo^ + ^O^ = 0- (6-6)
Утверждение 2. Уравнение Лагранжа (6.6) для произвольной невырожденной функции Лагранжа L(ut, их) эквивалентно некоторому линейному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. В алучае лагранжиана (6.5) эквивалентное линейное уравнение также является лагранжевым и имеет лагранжиан
L = \vl-\v"(r)vl. (6.7)
Доказательство. Обозначим р = ut, г = их; условие совместности UtX = Uxt переходит в уравнение
Px-Tt = 0. (6.8)
Уравнение Лагранжа (6.6) принимает вид
Lpppi 4- LprTt LrvPx + L rrTx 0. (6.9)
Нелинейная система уравнений (6.8)—(6.9) эквивалентна уравнению Лагранжа (6.6). Следуя классическим работам Римапа по газовой динамике [73], применим к системе (6.8), (6.9) преобразование годографа, т. е. сделаем нелинейное преобразование
p(t, х), r(t, x)-+t(p, г), х(р, г). (6.10)
Частные производные функций (6.10) связаны соотношениями
Pt=Dxr, Tl = -Dxp, px = -Dtr, rx = Dtp, (6.11)
где D = (tpXr — trxp)~l Ф 0. В силу равенств (6.11) уравнения (6.8), (6.9) после преобразования годографа (6.10) принимают вид
tr — xv = 0, LppXr-Lpr(хР +tr)+Lpptp = O. (6.12)
Из первого уравнения (6.12) находим t = vP, x = vr. Поэтому второе уравнение (6.12) принимает вид
LppVrr — ILvrVpr "I" LrrVpp — 0. (6.13)
Уравнение (6.13), очевидно, является линейным относительно функции v(p, г).
213 В случае лагранжиана L (6.5) уравнение (6.13) переходит в уравнение
Vrr-V" (r)Vpp = 0, (6.14)
которое является лагранжевым уравнением, отвечающим лагранжиану (6.7). Утверждение 2 доказано. Замечание. Если лагранжиан L имеет'вид
L(UftUx) = A (Ut) +В(их), (6.15)
то соответствующее линейное уравнение (6.13) является лагранжевым с лагранжианом
L1 = ± А'(р) V9r +В'(г) V*.
В случае лагранжианов (6.5), (6.15) соответствующие линейные уравнения (6.13) могут быть решены методом Фурье разделения переменных. С помощью преобразования годографа [73] произвольное нелинейное дифференциальное уравнение вида
A(ut, их) Utt + В (щ, их) Utx + С (ut, их)ихх — О
преобразуется в линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами
А(р, г) Vrr-В (р, г) Vpr + С (р, г) Vpp = O.
III. Для систем Ферми — Паста — Улама (6.1) — (6.2) предельные дифференциальные уравнения (6.4) имеют вид
Utt = (Ux + аи%) , Utt = (Ux + $ul)x. (6.16)
Эквивалентные им линейные дифференциальные уравнения (6.13) принимают вид
Vrr = (1 + 2ar) Vpp, z;rr = (l + 3?r2)i;PP. (6.17)
Первое уравнение (6.17) является уравнением смешанного типа и после замены s = — (2a)~in(r + 1/2сс) переходит в классическое уравнение Трикоми
v,s + SVpp = 0. (6.18)
Второе уравнение (6.17) всюду является уравнением гиперболического типа.
В случае цепочки Тода V(u) = eu; уравнение (6.14) принимает вид
Vrr - ervPP = 0 (6.19) и имеет всюду гиперболический тип. 214 Решения уравнений (6.13)-(6.14) обладают достаточно хорошими свойствами. Однако соответствующее им обратное отображение годографа (6.10) является, вообще говоря, многозначным, что соответствует возникновению особенностей в решениях уравнения Лагранжа (6.4).
Укажем конструкции некоторых решений уравнения (6.4). Продифференцируем уравнение (6.4) по а: и обозначим г = Ux, получим уравнение
rtt=iV'(r))xx. (6.20)
Рассмотрим два уравнения первого порядка
rf + є (V" (г)) U2rx = 0, е = ±1. (6.21)
Дифференцируя уравнение (6.21) по f и подставляя выражение для rt из (6.21), получаем уравнение
гп = F"' (г) ІІ + V" (г) rxx = (V" (г) rx)x = (У (г))те.
Поэтому решение каждого из уравнений (6.21) является также решением уравнения (6.20) и определяет решение уравнения (6.4) в силу равенства Ux = г. Обозначим /== = (F" (r))l/2. В силу уравнений (6.21) получаем
ft +Zftx = 0. (6.22)
Уравнения (6.22) совпадают с классическими уравнениями опрокидывающейся волны Римана (см. § 5, п. И). Поэтому все лагранжевы уравнения (6.4) имеют решения, удовлетворяющие уравнениям (6.21), (6.22), которые при изменении времени t становятся многозначными.
IV. Двумеризацию систем Ферми — Паста — Улама определим системой уравнений
Aft (6.23)
dt дх s \ \ е J V е //
где є — произвольный параметр. Предположим, что существует гладкая функция u(t, х, у) такая, что qk(t,x)=> = u(t, х, ук), где ук = кг. Система уравнений (6.23) при є 0 переходит в уравнение
Utx = (Vr(Uy))y. (6.24)
Уравнение (6.24) лагранжево с лагранжианом
L = -^UtUx-V(Uy). (6.25)
Покажем, что уравнение (6.24) при произвольной функции V (Uy) имеет решения, которые при изменении
215 времени t становятся многозначными. Уравнение (6.24) после дифференцирования по у и обозначения щ = г принимает вид
г,* = (У(г))ю. ' (6.26)
Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка
rt=f(r)rv, rx = g(r)rv, (6.27)
где /(г), g(г) — некоторые функции. Дифференцируя первое уравнение (6.27) по х, а второе по і и подставляя выражения rt и гх из этих уравнений, получаем равенства
Ttx = rxt = {fg)'rl + fgryy = (Jgry)y. (6.28)
Поэтому уравнения (6.27) совместны. Пусть функции /(г) и g(r) удовлетворяют равенству f(r)g(r)= V" (г). Тогда уравнение (6.28) совпадает с уравнением (6.26). Поэтому любое решение совместной системы уравнений (6.27) при f(r)g(r)=V" (г) определяет решение уравнения (6.26). Из уравнений (6.27) следует уравнение
