Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
u(t, X, y) = A(x) + B(t) + bxt + y(i&(by)-i), (5.27)
где А(х\ и B(t) — произвольные функции.
Уравнение (5.20) для функций u(t, х, у) вида и(t, х, y) = u(z, у), где Z = X +et, сводится к уравнению
сигг = (ехр Uy) У,
очевидно эквивалентному уравнению (5.3) .
Уравнение (5.20) после дифференцирования по у и обозначения W = Uy принимает вид
Wtx = (ехр w)yy. (5.28)
14 О. И. Богоявленский 209Уравнение (5.20)', (5.28) впервые было выведено в 1987 году в работе [12]. Оно существенно отличается от уравнения
Wxx + Wyy = (exp w)„, (5.29)
которое возникло при изучении автодуальных решений уравнений Эйнштейна для положительно определенных метрик [82, 83]. Связь уравнений вида
дгу (i!)/dz+dz_ = j dt'К (t, t') exp у (t')
с континуальными алгебрами Ли изучалась в работах [86, 871.
IV. Покажем, что уравнение (5.28) имеет решения, которые с течением времени становятся многозначными. Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка
Wt^f(W)Wv, wx = g(w)wy, (5.30)
где f{w), g{w) — некоторые функции. Продифференцировав первое уравнение (5.30) по х, а второе по і и подставив выражения Wt и wx, в силу уравнений (5.30) находим
Wtx = Wxt = (fg)'ww% + Jgwyv = (fgwy)y. (5.31)
Поэтому уравнения (5.30) совместны.
Уравнение (5.31) совпадает с уравнением (5.28), если f(w)g (w) — exp w. В этом случае любое решение совместной системы уравнений (5.30) является также решением уравнения (5.28). Из уравнений (5.30) следует уравнение
= (5-32)
Из уравнений (5.30), (5.32) следуют уравнения
л-//г fc-«r (ІИт)(т)„- <5'35»
Каждое из этих уравнений совпадает с уравнением опрокидывающейся волны Римана. Поэтому непостоянные решения уравнений (5.33) и, следовательно, соответствующие им решения уравнения (5.28) при изменении времени t становятся многозначными.
B простейшем случае f(w) = Ci exp (w/2), g(w) = = C2exp(u>/2) из уравнений (5.30) находим
х, Vl=sw^y У)> т = Cii + C2X,
210и уравнения (5.30) сводятся к одному уравнению опрокидывающейся волны Римана fx = //,,.
Замечание. Уравнение (5.29) для функций вида w(x, у, z)=w(т, х), X = ах Л-^y переходит в уравнение (а2 + ?2) Wxx = (ехр w) гг, эквивалентное уравнению (5.3), (5.16). Поэтому уравнение (5.29) для решений вида w(т, z) имеет счетное множество первых интегралов и может быть линеаризовано с помощью преобразования годографа (см. § 6).
V. Укажем вывод уравнения (5.20), (5.22) как предельного случая из уравнения нулевой кривизны
f-Ij+ Il'Аї = °- (5-34)
Пусть L(Е, t, х) и А (Е, t, х) — линейные операторы, действующие на пространстве функций ср(у), определенные формулами
L(Е, t, х) = Ea(t, х, y)V,+ b{t, х, у) + Е~1Р-„
(5.35)
А(Е, t, х) = E&~xa{t, X, у)Pe,
где Pe — оператор сдвига по у: Pe(ф) (г/) = ф(г/ + є); Е, є — произвольные параметры. Уравнение (5.34), (5.35) эквивалентно системе уравнений
да (t, х, у) 1 да (t, х, у) _ dt є дх
= a (t, х, у) — (b (t, х, у + г) — Ъ (t, х, у)), (5.36)
дЬ {h8t'' У) = 4" (а x^ у) —а ({> Х'У — е))-
Уравнения (5.36) после замены t\ = t + х\, х = г~1х\ и перехода к пределу при е ->- 0 преобразуются в уравнения
да дЪ дЬ да ОГ7Ч
Wl = aW W1 = W (5-37)
В силу второго уравнения (5.37) существует функция v(t, х, у) такая, что a = vt , b — vv. После подстановки этих выражений первое уравнение (5.37) переходит в уравнение (5.22),
14* 211§ 6. Опрокидывающиеся решения в континуальных пределах систем Ферми — Паста — Улама и их двумеризаций
I. В классической работе [71] численно изучалась динамика частиц на прямой с лагранжианом
L=2 (4^-7 fa*+*-(6-і)
где потенциальная функция имела вид
F1(U)-4 + 72(М) = 4«2 + 4«4- (6.2)
Основным результатом работы [71] является открытие аномально большого времени стохастизации рассматриваемых систем при числе частиц порядка ста.
B данном параграфе показано, что нелинейное дифференциальное уравнение, являющееся континуальным пределом систем (6.1) — (6.2), может быть линеаризовано с помощью специального преобразования. Это обстоятельство является еще одним объяснением (см. [72]) отсутствия стохастизации в системах Ферми — Паста — Улама (6.1)-(6.2).
II. Уравнения движения, соответствующие лагранжиану ("6.1), после растяжепия координат qh и времени t могут быть представлены в виде
(6.3)
где е — произвольный параметр. Предположим, что существует гладкая функция u(t, х) такая, что qk(x) = = и(t, xk), где Xk = кг. Уравнения (6.3) после указанной подстановки при є ->- 0 переходят в уравнение
utt=(V'(ux))x. (6.4)
Уравнение (6.4) лагранжево с лагранжианом
L = ^u2t-V(их). (6.5)
Динамика общей цепочки частиц (6.3) в отличие от цепочки Тода (1.1), где 7(гг) = ехри, не интегрируема. Однако ниже мы докажем, что соответствующий континуальный предел — уравнение (6.4) —всегда (при произвольной функции F(и)) эквивалентен некоторому линейному уравнению. Это утверждение справедливо также
212и для всех лаграижевых систем с лагранжианами L (nh их), не зависящими явно от функции u(t, х). Соответствующее уравнение Лагранжа имеет вид д дЬ д OL _