Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Я = 2-1 ((M, А) + Д ((Ka, Ba) + (ua, Wcc)) j. (2.11)
При отсутствии магнитного поля в к ПОЛОСТЯХ (ua = Wa = = 0, a = 1, ..., к) алгебра Ли L редуцируется к алгебре Ли Ah+і,„_й.
7) Вращение твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными магнитной жидкостью, вокруг не-
О. И. Богоявленский 225 подвижной точки в ньютоновском поле с потенциалом
ф(жі, x2, хъ).
Динамика в системе отсчета S определяется уравнениями
M = MXA + gx« + fx?+^XY,
cc = orXA, ? = ? X A, y=yXA, (2.12)'
Ka = Ka X Ba + Ua X Wa, Ua = Ua X Ba,
которые являются нераспадающейся комбинацией уравнений (2.3) и (2.10). Уравнения (2.12) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли L = L\2 ® Aoi7l и имеют гамильтониан
H = 2-1 (М, А) + 2-1 2 ((Ka, Ba) + (ua, wa)) - U (a, ?, у).
а=1
При отсутствии магнитного поля в к полостях алгебра Ли L редуцируется к алгебре Ли Lx2 ® AhiU-k.
Комбинируя условия задач 2) и 5), получаем уравнения Эйлера, связанные с алгеброй Ли L = L\2 © Ah$. При отсутствии электрического поля алгебра Ли L редуцируется к алгебре Ли Lg ® Ahfi. При отсутствии и электрического и гравитационного полей алгебра Ли L редуцируется к алгебре Ли Ез® AhtO = Ак}\. Алгебры Ли Lg® Ah^ и Akі связаны также с уравнениями, получающимися комбинацией условий задач 3) и 5).
§ 3. Алгебраическая и гамильтонова структура
уравнений вращения спутника вокруг центра масс
I. Рассмотрим вращение спутника Земли по круговой
орбите радиуса R, в предположении, что гравитационное
поле Земли является сферически симметричным с потенциалом ф = —Gmrгде G — гравитационная постоянная, m — масса Земли. Предположим, что центр масс спутника движется по круговой орбите радиуса R, т. е. вращение спутника вокруг центра масс не влияет на орбиту. Угловая скорость ? вращения спутника по орбите определяется формулой Qi = GmR"3. Пусть M — вектор кинетического момента спутника в неподвижной системе отсчета F, вектор f является радиус-вектором центра масс, вектор п является постоянным вектором нормали к орбите, единичный вектор а является касательным к ор-
226 бите по направлению движения спутника, ос = n X f. В дальнейшем все векторы рассматриваются во вращающейся системе отсчета S, жестко связанной со спутником T; в системе S тензор инерции является диагональным: Iih = Iibik-
Момент К гравитационных сил ньютоновского потенциала ф = —Gmr~l, действующих на спутник Т, в главном приближении определяется формулой [130]
К = 3Q2y X /у, Q2 = GmR'3. (3.1)
Уравнения вращения спутника вокруг центра масс в системе отсчета S имеют вид [130]
M = MXtD + ЗЙ2т X /у, и = I-1M,
• (3.2);
Y = Yx(M-Qn), п = пХ(о.
Рассмотрим алгебру Ли Lg, являющуюся полупрямой суммой алгебр Ли SO (3)+R3+R3 (см. (2.4)). Векторы сопряженного пространства L9 в соответствии с указанным разложением представим в виде M + Y + п. Уравнения Эйлера с гамильтонианом Н(М, y, п) в нространст-ве L9 имеют вид
M = MX§ + vX^ + n><^,
' oM ' оу ¦ 'N on ,о п,
w дН ¦ ',дії ^6-6'
V = YX^' п = пХЖ-
Возьмем гамильтониан Н(М, f, п) в виде
H (М, V, п) = у (М, /-1M) + -i 3Q2 (у, Iy) - Q (М, п). (3.4)
Справедливы равенства
?| = /-iM_Qn = (0_Qn, ^ = -QM. (3.5)
Уравнения (3.3) с гамильтонианом (3.4) в силу равенств (3.5) совпадают с уравнениями (3.2). Следовательно, уравнения (3.2) являются уравнениями Эйлера в коал-гебре Ли Lg.
Уравнения Эйлера (3.2)-(3.4) в силу общей теории [120] являются гамилътоновыми с гамильтонианом (3.4) на шестимерных симплектических подмногообразиях il/6 = SO(3)XR3, определяемых в пространстве L9 тремя геометрическими условиями
(Y, Y)=l, (n, n)=l, (Y, п)=0. (3.6)
15* 227 Поэтому для интегрируемости по Лиувиллю общей системы (3.3) в принципе достаточно иметь два инволютив-ных первых интеграла, не зависящих от гамильтониана II (3.4). В случае симметричного тензора инерции Ii = I2 имеется один дополнительный первый интеграл Ji = Mг.
II. При учете несферичности Земли момент К гравитационных сил, действующих на спутник, определяется формулой
K~vxg + »x?. ад
где U (у, п) — некоторая потенциальная функция. Уравнения вращения спутника в системе S принимают вид
м = мХй + їХ? + пХ?,
1 ду - '4 дп g^
7 = V X (°>— Qn), П = П X
Уравнения (3.8) также являются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли Li9 и имеют гамильтониан
H = Y (М, /_1М) + U (у, п) — Q (М, п). (3.9)
III. Для учета воздействия магнитного поля Земли предположим, что вдоль орбиты спутника магнитное поле имеет напряженность A?, где ? — единичный вектор, имеющий постоянные координаты в базисе ос, Y> п. Пусть Ш — вектор магнитного момента спутника (постоянный в системе отсчета S). Тогда уравнения вращения спутника в системе S имеют вид
М-МХю + YX^ + nX g + ASKX?. (з.ю)
Y = YX(w — ;йп), n = nXw, ? = ? Х(ю — йп). Эти уравнения являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве L12 к алгебре Ли Li2, являющейся полупрямой суммой алгебр Ли: Li2 — SO (3)+R3+IR3+ + R3 (см. (2.4)) и имеют гамильтониан
H = Y (М, / -1M) + U (у, н) - Й(М, н) - /1(3?, ?). (3.11)
