Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Я = - + exP (Яп+1 — Qi)- (1-2)
г=1 і=1
187 Периодическая цепочка Тода изучалась также в работе [19] с помощью алгебро-геометрических методов.
В данном параграфе приводятся алгебраические обобщения цепочки Тода, связанные с простыми алгебрами Ли, которые были впервые построены в работе [59]. Воспользуемся классификацией Картана [66] простых алгебр Ли. Пусть H — картановская подалгебра простой алгебры Ли <%і є H — набор корней, еа. є @ — корневые
векторы. В базисе Картана — Вейля справедливы коммутационные соотношения
[h, ea] = {h,a)ea, [еа, е-«] = а,
[ое<, h] = 0, [е«, =
где h^ H и (h, а) •— скалярное произведение Киллинга — Картана:
(х, у) — Tr(adz ° ad у), adx(z) = [x, z].
Назовем набор корней cti, ..., aN допустимым, если для всех j, /5^Ar вектор Oi- а,- не является корнем; тогда
В каждой простой алгебре Ли имеется один важный допустимый набор корней
CO0 = —?,- «і, ,.ton, (1.4)
где 0)1, . . ., Шп — простые корни (все корни cli являются целочисленными линейными комбинациями coA), a? = = &1Ш1 + ... + кп(ап — так называемый максимальный корень (Q + Zi«i + ... + Zn(o„ не является корнем при всех Ii > 0). Допустимыми являются также все подмножества набора корней (1.4). Справедливо равенство
Aocoo+&1-©1 + ... + &пЮп — 0, (1*5)
где все кг > 0 и являются целыми числами, &о = 1. Допустимый набор корней (1.4) образует набор вершин пополненного графа Дынкина Г.
Из определения допустимого набора корней и тождества Яікоби в силу (1.3) получаем следствия
іфЬ к: [<?«,, = 0, [[е^ e&j] е-щ] = О, [|>«у ещ\ = Щ)Єщ-
II. В дальнейшем в алгебре Ли <8 будут рассматриваться уравнения вида
L = [L, А] (1.7)
188 с различными векторами L(Z), К алгебраиче-
ским обобщениям цепочки Тода приводят следующие две конструкции.
1) Пусть векторы L (і) и A (it) имеют вид
п
L(0=2 + + (1-8)
г=0
п
А (0 = s h (о (^i - <?-<»,),
г—О
где вектор ^(ї) принадлежит картановской подалгебре Я. Используя коммутационные соотношения (1.3) и определение допустимого набора корней, находим, что уравнение (1.7), (1.8) эквивалентно системе уравнений
п
• _ *
P = — 2 2j g>» к = (P) ®i). (1.9)
г = о
Уравнения (1.9) после подстановки
Zi- с4ехр(д, со»), (1.10)
где вектор q(t) принадлежит картановской подалгебре H, принимают гамильтонов вид
• 6Я • _ дН
я = Y (/?,/?) + 2 c^ exP 2 c^)*
4=0
Уравнения (1.11) эквивалентны уравнению Лакса (1.7), (1.8) и называются обобщенной цепочкой Тода, связанной с данной простой алгеброй Ли.
2) Пусть векторы L(t) и А(?) определяются формулами
п п
L (t) = 2 а і (t) + Ep (t) + ?2 2
i=o ^ i=o (1 12)
А (і) = — ZT-1 2 «г (t)
г=о
где p(t)<^H, Ci — постоянные, E— произвольный пара» метр. Уравнение (1.7), (1.12) в силу (1.3) эквивалентно системе уравнений
та
р = — 2 Ciditou Cli = Cli (р, (дг)- (1.13)
і—0
489 Эти уравнения после подстановки с^ = /* ехр {q, (Oi) принимают гамильтонов вид с гамильтонианом
п
н = р) + ^iCifiexviq, щ). (1.14)
i=О
Гамильтонианы (1.11) и (1.14), очевидно, эквивалентны.
Из представления в виде L — А пары (1.7) следует, что уравнения обобщенных цепочек Тода (1.11) имеют первые интегралы
h = Fki L), Л = Тг(Г(Ь))А, (1.15)
где Fh — любые инварианты алгебры Ли a T — любое ее линейное представление, например, присоединенное представление алгебры Ли
Уравнения обобщенных цепочек Тода (1.11) могут быть проинтегрированы в тэта-функциях рима новых поверхностей в силу того, что представление Лакса (1.7), (1.12) содержит произвольный спектральный параметр Е.
III. Приведем конкретные примеры систем (1.11). Воспользуемся классификацией простых алгебр Ли и стандартной записью корней алгебры Ли © в ортонорми-рованном базисе е\, ..еп (см. [66]). Для алгебр Ли типа An, Eб, E7, Сг2 удобно расширить картановскую подалгебру элементом, коммутирующим со всей алгеброй; в этом расширении имеем базис €\, ..еп, еп+х. В качестве допустимого набора корней берем набор (1.4); Соответствующий гамильтониан (1.11) имеет эквивалентный вид1)
т
н = + (1-16)
г=1
Здесь т = п + 1 для алгебр Ли типа An, Eq, Ej, G2 и
т = п для остальных типов (п — ранг алгебры Ли <$).
k
Введем обозначение Vk = S ехр (^i — Qi+i)- Явный вид
потенциалов Vtgiqi) в зависимости от типа © следующий: УA11 = Vn+ ехр (qn+x — ^1), п > 2, Vвп = Vn-1 + ехр (qn) + ехр (— iqx + ?2)), п > 2, Vcn = Vn--L + ехр (2qn) + ехр (— 2q1)1 п > 3,
') Другой класс вполне интегрируемых гамильтоновых систем, связанных с простыми алгебрами Ли, указан в работе [68], где используется конструкция L — А пары Мозера — Калоджеро [30, 69].
190 Vd = Fn-I + exP + 2«) + exP (— Яі — ?2). и > 4,
7г
F^6 = F5 + ехр ^ ( — qy — q2 — ft + ft + ft + ft)) +
+ ^q1 + exp(-/2ff7).
Ve7 = + exP (у + ^2 + * " + ^7 ~~ + (1.17)
+ ехр (— Q1 — q2) 4- ехр (— q7 — g8),
Ve8 = ^6 + exP (— ft + ft + ... + q7 — ft)) +
+ ехр (— qx — q2) + ехр {q7 + g8), Ff4 = exp (gt — q2) + exp (g2 — q3) + exp (q3) +
+ exp (— qx — q% ~ qs + g4) j + exp (— — g4),-
