Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае соотношение {а, ?} = 0 выполнено тождественно при любых а,, ?j. Соотношение [a, b] = {?, а} является равенством двух кососимметрических матриц, причем в этих матрицах все диагональные двумерные блоки тождественно равны нулю. Для недиагональных двумерных блоков получаем уравнения
а ab ц ~ b ijCCjj — + Ctifijj. (4.25)
Введем обозначения для матричных элементов двумерных блоков
aii = {ul yJ- йу = ("« »«)¦ ('ь2г,)
Матричное уравнение (4.25), (4.24) распадается на две
171линеиные системы из двух скалярных уравнений
CLiXii - = -(?i- ?j) Uij,
щхн - ot,y« = (?4 - р,) Zih
QtiHii + ^-O?i+?j) X0, ' ^
OJjWij + GtiZij = - (?i + ?j) Yij.
Решения этих уравнений имеют следующий явный вид:
Xij — 5 faiUij + OtjZij),
a? - a^ ? _?
Vij =--^-ij + ai%ij) ?
1J/ V Xr \
= - — (GtjAjj Ot|l ij),
af - aj
__?i + ?j / -Vr V \
щ----- — ^CXjAjj CCjI ij).
a? - a J
Нетрудно проверить, что если матрица а была кососим-метрической, то матрица Ь, определенная формулами (4.26), (4.28), также является кососимметрической и поэтому уравнение а = [а, Ь] определено в алгебре Ли so (2п, (R). Это уравнение не является гамильтоновым в стандартной симплектической структуре, так как линейное отображение а -*¦ Ъ, определенное формулами (4.28), не является самосопряженным относительно метрики Киллинга — Картана в алгебре Ли so (2п, К).
V. Укажем вторую конструкцию дифференциальных уравнений в ассоциативной алгебре Si, связанную с коммутирующими автоморфизмами GhH.
Теорема 2. Дифференциальное уравнение в ассоциативной алгебре St вида
~ = H (6) — b + aG (?) - ?a, (4.29)
где элементы a(t), b(t) и ?(?) алгебры St связаны соотношениями
aG(b) ^ftGH-1OO, H(?)=?, (4.30)
допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.
Доказательство. Определим линейные операторы L и А формулами
L = aG + Ш, A = X~lbGH~x + ?. (4.31)
172Уравнение Лакса L = [L, А], очевидно, эквивалентно уравнениям (4.29), (4.30).
Укажем применения теоремы 2. Пусть автоморфизм H = G1 р ^s 2, ? = 0. Тогда алгебраическое уравнение (4.30) принимает вид aG(b) = bGp(a) и имеет решение
Ь ^aG (a)... Gp"1 (А). (4.32)
Дифференциальное уравнепие (4.29) после подстановки формулы (4.32) переходит в уравнение
^ = G1-P(fl) G2~~p (a)... G""1 (а) а—аО (a). . . G р_1(а).
(433)
Таким образом, уравнение (4.33) в произвольной ассоциативной алгебре допускает представление Лакса. Уравнение (4.33) в алгебрах функций на многообразиях и на множестве целых чисел Z исследовалось в § 3 и в гл. V.
Конструкция теоремы 2 с автоморфизмами GhH вида G(x) = x, H(ж) =Ocra"1, a? = ?a, где a — постоянный обратимый элемент алгебры §1, приводит к уравнению
^ = [P(O)1 а] + [д, р]. (4.34)
Здесь P (а)—произвольный многочлен от элемента а. При этом операторы LnA имеют вид
Ij = а Л- АН, A =-A-1P(^)aH"1 + ?.
Уравнение (4.34) допускает также представление Лакса в самой алгебре St с операторами Li = a + Aa, Ai = = — A-1P (a)+? и имеет поэтому большой набор первых интегралов. В частном случае P (a) = a2, ? = 0 уравнение (4.34) переходит в интегрируемый случай работы [52].
Замечание. Формулировки теорем 1 и 2 можно несколько расширить, рассматривая вместо операторов (4.3) и (4.31) соответственно операторы вида
L = aG + AdiH, А = A1 = b + Ad2HG-1,
A = A2 = A-1^GH-1 + ?,
где di — постоянный элемент алгебры 9t. Однако такое расширение во многих случаях приводит к дифференцрі-альным уравнениям, эквивалентным случаю di = 1.
173§ 5. Применения к уравнениям Эйлера в прямой сумме алгебр Ли gl(«, К) и so (я, К)
I. Пусть алгебра ^C является алгеброй матричнозначных функций на множестве целых чисел І = ^r (Z> gl (Иі ^))¦ Автоморфизмы GhH определим формулами
Kf(k)=*a(k+i)f(k + l)a(k + I)"1. (5.1)
Обратимые матрицы ah, ?A. определены с точностью до произвольного скалярного множителя. Условие коммутативности GH = HG принимает вид
a(k+i)$~l(k + l)f(k+ l)?(/c + l)a_i {к + IJ=
= ?(fc)-!a(fc+ 1)/(&+ i)a(k + IJ-1P(Ze)- (5.2)
Отсюда находим соотношения
<x(fc + l)"]?(A:)cc(A;+ l)?(& + I)"1 = [Lt(Ar),
+. l) -i = .ji(A;)'a(fc + 1)-^(^)-^(? + 1), (5"3)
где ц (к)—произвольная скалярная матрица. Уравнения (4.1). (4.2) принимают вид
a\(k) — а\(к)$(к)~1Ъ(к)$(к)— Ъ(к)а\(к), (5.4)
а(А+ 1)Ъ{к+ 1)а(Аг+ I)"1- Ъ(к) =
= a(A + 1)Р(А + l)ai(A+:l)f(A + I)"1 X
Xa(A+l)^-ei(A). (5.5)
Введем обозначения а(к) = ai(&)?(&)-1. Уравнение (5.4) после умножения справа на ?(k)-1 принимает вид
a(k) = [a(k), b(k)]. (5.6)
Уравнение (5.5) после умножения справа на а(&+1) принимает вид
а{к+ 1)Ъ{к+ 1)- b(A)a(A+ 1)«
= а(& + 1) ?(&+ l)a(ft + 1) — а(/с) ?(fc)a(& + I)4. (5.7)
Это уравнение после подстановки формул (5.3) принимает вид
а{к+\)Ь(к+і)~ Ъ(к)а(к + 1) =
= ^(A)-1?^)«^+ 1)а(к+ 1)-
— a(Af)?(A)a(A+l). (5.8)
174В периодическом случае, когда алгебра St является алгеброй матричиозначных функций на конечном множестве точек (Ziv> ER)), соотношения (5.3) приводят к условиям