Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
(Dia)i = [Dia, a], Dia = at + [с, а], (7.16)
где Di — оператор дифференцирования
D1 = + adc. (7.17)
184 Из уравнения (7.16) после применения оператора D1 получаем уравнение
(Djfl)t = [D\а, a], D*a = а + 2 [с, а] + [с, [с, а]]. (7.18)
Уравнения (7.16) и (7.18) имеют вид (7.6). Поэтому в силу (7.8) произвольный многочлен P(D1^5Dja) удовлетворяет уравнению
P (D1A, DIa)' = [Р (Djo, Dja), а]. (7.19)
Это уравнение и является представлением Лакса с произвольным числом спектральных параметров — коэффи-
циеитов многочлена P(Dja, Dia). Уравнение (7.16) было впервые указано в работе [16].
IV. Уравнение в частных производных
axt^\ax, a] + [at, с] +[[с, а], а] (7.20)
представляется в виде (с = const)
(D^a)t = [Т)2а, a], D 2fl = ax+[c, а], (7.21)
где D2 — оператор дифференцирования
D2 = Tx + ad^ Применяя к уравнению (7.21) оператор D2, получаем {T)\a)t = \0\а, а], Ь\а = ахх + 2 [с, ах] + [с [с, а]]. (7.22)
Из уравнений (7.21), (7.22) аналогично (7.19) следует, что для произвольного многочлена P(D2a, Dla) функции
I = TrP (DaO1 D^a)
являются поточечными первыми интегралами уравнения (7.20).
Замечание. Уравнения (7.1), (7.11), (7.15) и (7.20) естественно обобщаются в произвольной алгебре Ли Уравнения (7.16) и (7.18) по-прежнему являются их следствиями. Уравнения вида (7.4), (7.13), (7.19) также справедливы, если многочлен P (Da, D2a) является произвольной суммой любого числа коммутаторов элементов Da, D2a. Поэтому если }(х) — любой инвариант алгебры Ли т. е. функция, постоянная на орбитах присоединенного представления, то функции
/(P (Da, D2a))
являются первыми интегралами уравнений (7.1), (7.11), (7.15), (7.20).
V. Пусть Cl, ..., сп — некоторые постоянные матрицы, ®i — их совместный аинулятор, т. е. множество матриц
185 X таких, что [Cfc1 х] = 0, к = 1, ..п. Множество ©!является подалгеброй Ли в gl (п, [R). Обозначим через ф некоторое отображение алгебры Ли gl (/г, 0?) в ^1. У тверждение 3. Матричное уравнение
а = [а, ф(а)] (7.23)'
допускает представление Лакса с несколькими спектральными параметрами.
Доказательство. Введем обозначения
a +KiCi + ... Л-KnCn, bk = [ck, а], (7.24)
где Лі, ..., Kn — произвольные параметры. Из уравнения (7.23) в силу определения отображения ф следуют уравнения
Ьх = \Ъи ф(а)], bh = [bh, Ф(д)]. (7.25)
Поэтому для произвольного многочлена Р(Ъ%, Ь\, ..Ьп) в силу (7.24) справедливо уравнение
P (b%, .....Ъп) = [Р (b%, bv ..bn), ф (а)}. (7.26)
Очевидно, уравнение (7.26) содержит произвольное число спектральных параметров. Собственные числа матрицы P(bk, bі, ..., Ьп) являются первыми интегралами уравнения (7.23). Утверждение 3 доказано.
Утверждение 3 без изменения переносится в произвольную алгебру Ли.
Пусть h: (В © произвольный гомоморфизм алгебры Ли © в себя, — неподвижная подалгебра: h(x) = x, X е Обозначим через ф произвольное отображение алгебры Ли @ в (?.
Покажем, что матричное уравнение
а а)] (7.27)
допускает представление Лакса с несколькими спектральными параметрами.
Действительно, из уравнения (7.27) следуют уравнения (k = 1, 2, .,.)
Jik (а)' = [hk (а), ф(а)]. (7.28)
Пусть P(a, h(a), ..., hn(а)) — произвольная сумма коммутаторов любого числа элементов a, h(a), ..., hn(a). Из уравнений (7.28) следуют уравнения
P{a,h(a), ...,hn(a))' ~[P{a,h(a), .An(a)), ф(а)].
(7.29)
Уравнения (7.29), очевидно, содержат произвольное число спектральных параметров. ГЛАВА VIII
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПРОСТЫМИ АЛГЕБРАМИ ЛИ
В данной главе приводится конструкция алгебраических обобщений цепочки Тода, предложенная впервые в работе [59]. Построенные динамические системы и их связи с теорией простых алгебр Ли подробно исследовались в литературе [60—62]. G цепочкой Тода тесно связана система Вольтерра [30, 44]. Поэтому естественно предположить, что система Вольтерра, наряду с обобщениями в произвольных непрерывных ассоциативных алгебрах, построенными в гл. V и VII, имеет также аналоги и в простых алгебрах Ли. Такие алгебраические аналоги указаны в данной главе. Полученные динамические системы допускают представление Лакса со спектральным параметром в соответствующей простой алгебре Ли. Указаны интегрируемые расширения обобщенных цепочек Тода и двумеризованных цепочек Тода. Исследованы континуальные пределы цепочки Тода и динамических систем Ферми — Паста — Улама.
§ 1. Алгебраические обобщения цепочки Тода
I. В 1970 году М. Тода при численном исследовании различных моделей взаимодействия атомов в кристаллической решетке обнаружил отсутствие стохастизации в системе частиц единичной массы на прямой, взаимодействие которых определяется потенциалом
V = 2 exp [qi — gi+1), (1.1)
і
где qi — отклонение г-й частицы от положения равновесия [63]. В дальнейшем в этой задаче был построен полный набор первых интегралов [64], найдена L — А пара и доказана интегрируемость по Лиувиллю [44, 65] цепочки Тода, которая в периодическом случае имеет гамильтониан
71 + 1
