Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Fg2 = exp (? — q2) + exp (— Iq1 + q2 + q3) +
+ exp (g. + q2 — 2 q3).
Используя стандартные линейные представления простых алгебр Ли, можно показать, что гамильтоновы системы с гамильтонианами '(1.16) имеют ровно т первых интегралов. В работах [61, 62] доказано, что все первые интегралы находятся в инволюции.
Для алгебры Ли типа ^4n(SL(rc + 1)) гамильтониан (1.16) определяет периодическую цепочку Тода, для остальных типов получаем новые цепочки частиц, имеющие большое число интегралов движения (отметим, однако, что система (1.16) для типа Cn вкладывается в цепочку Тода из 2п частиц).
Для системы двух частиц из (1.17) получаем кроме цепочки Тода еще две интегрируемые системы с потенциалами
Vb2 = ехр (^1 — q2) + ехр (q2) + ехр (— qx — g2), Vg2 = ехр (?1) + ехр ( /3 д2) + ехр (-Iq1-X^q2J,
§ 2. Алгебраические аналоги системы Вольтерра
I. В предыдущих главах были найдены весьма общие алгебраические конструкции интегрируемых нелинейных уравнений, которые в простейших случаях переходят в систему Вольтерра
uh=uh(uh+i~uh-i). (2.1)
191 В данном параграфе мы укажем конструкцию интегрируемых гамильтоиовых систем, связанных с простыми алгебрами Ли, которая в случае алгебры Ли типа An приводит к системе (2.1).
Рассмотрим в простой алгебре Ли @ уравнение (1.7), где векторы L (t), А (і) определяются формулами
11 п
L (t) = Я 2 йі (t) ещ + -І 2 тч № [e^v ^j]'
і=о *,;=о (2.2)
п
А (?) = Я 2 кфГкеаг 1=0
Здесь W0, (Di, . •., ^n — допустимый набор корней (1.4), положительные целые числа к{ определены из условия (1.5), ma(t) = —mji(t), E — произвольный параметр. В силу равенств (1.6) уравнение (1.7), (2.2) эквивалентно системе уравнений
п п 2 к є~фЛ = 2 Mi і=0 і=0 = 0, (2.3)
= 0,
и bi (t) ещ = 2 Msi (0 hbr1 (t) [[^fiv C03 .], e.
S=O
п
= 2 msi W & А 1 (0 («І , (Os) Ctor (2-4)
S=O
Первое уравнение (2.3) справедливо тождественно в силу равенства (1.5). Из второго уравнения следует, что Treij(J)==COiist. Уравнение (2.4) эквивалентно динамической системе
п
h = 2 та (©її (Hj) кjbj1, (2.5)
J=O
которая имеет гамильтонов вид
71 п
= 2 из w> Я = 1пП Ъ*, (2.6)
5=0 J i=o
где (? = mji((ui, (oj), JLiij = —MrJf- Постоянная матрица jx« является кососимметрической, и ее ненулевые элементы отвечают ребрам пополненного графа Дынкина Г соответствующей простой алгебры Ли Если все |Uy'?= 0 при (coi, o)j)^0, то матрица р, имеет максимальный возмож-
192 ный ранг. Поэтому динамическая система (2.5) гамиль-тонова и гамильтониан H (2.6) является ее простейшим первым интегралом. Согласно проведенному выводу система (2.5) имеет эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром (1.7), (2.2) и, следовательно, обладает большим набором первых интегралов вида (1.15) и интегрируется в тэта-функциях римановых поверхностей.
Уравнения (2.5) после замены переменных a\{t) = — ЬГ1 (t) принимают эквивалентный вид
п
Ui (t) = а\ (t) 2 (coi7 юв) ksa$ (і). (2.7)
S=O
Как известно, вершины Qi, со3 пополненного графа Г соединены ребрами только в том случае, если (o)f, со5) =/=0'. Введем произвольные постоянные Jif8 — mie(o)f, cos), соответствующие ребрам графа Г -с фиксированным порядком вершин: Jiis = — Тогда система (2.7) принимает вид
Oi (t) = af (t) (ЦщАа, (*)), (2.8)
где суммирование осуществляется по всем вершинам графа Г, соединенным с вершиной сог одним или несколькими ребрами.
Введем новые переменные
Xij (t) = PijOi (t) Cij (t), (2.9)
которые отвечают ребрам графа Г с указанием порядка вершин CDit (hj. причем xij(t) = — xji (t); ребрам, соединяющим одинаковые вершины, соответствуют одни и те же переменные Xij(t). Из систем уравнений (2.7) — (2.9) следует динамическая система в координатах x{j[t):
Xii = хц ^ 2 ^s a + xj8) j. (2.10)
Здесь Xu — 0, если нет ребра, соединяющего вершины ©і и графа Г.
Число ребер графа Г (без кратностей) на 1 меньше числа вершин (для алгебры Ли типа An эти два числа совпадают). Поэтому число независимых переменных Xij(t) равно п и на 1 меньше числа переменных ^(^. Динамическая система (2.10) является. редукцией системы (2.7) — (2.8), допускающей матричное представление (1.7), (2.2). Поэтому система (2.10) также имеет набор первых интегралов; их число на 1 меньше числа неза-
13 О. И. Богоявленский 193 висимых интегралов (1.15) Ih — Tr (T1(L) )h системы
Укажем явный вид динамических систем (2.8), (2.10), соответствующих девяти типам простых алгебр Ли по классификации Картана. Используем стандартную нумерацию вершин графа Г и введем переменные uk(t) = Xa(t), M-A= Ц«» соответствующие ребрам графа Г с возрастающим порядком вершин (i < j). Для каждого типа простых алгебр Ли укажем также соответствующий граф Г и линейное соотношение (1.5) (см. [66]).
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа An имеют вид
Соответствующие динамические системы определяются формулами
где uh~ \ihahah+1, ап+і = ао, ип+і = щ. Динамическая система (2.12) совпадает с системой Вольтерра (2.1) в периодическом случае.
