Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
U1 U0
QJj W2 ,Wq
wq+3<V1+2O>2 = 0
Соответствующая динамическая система (2.8) задана уравнениями
а0 = — 2а1\\йа2, G1 = 2^^??, а2 = al{\i0a0 — Sjti1A1).
(2.27)
В переменных Mo — 1^000^2. и Ml = \liaia2 получаем двумерную динамическую систему
Mo = — мо(мо + Змі), Mi = Mi (щ — Mi). (2.28)
Построенные динамические системы (2.13) — (2.28) и являются алгебраическими аналогами системы Вольтерра (2.1), связанными с простыми алгебрами Ли.
§ 3. Интегрируемые гамильтоновы возмущения цепочки Тода и ее обобщений
I. Покажем, что интегрируемые гамильтоновы системы (1.11) (обобщенные цепочки Тода) вкладываются в некоторые гамильтоновы системы большей размерности, которые также допускают представление Лакса со спектральным параметром. Рассмотрим уравнение (1.7) в алгебре Ли © с векторами L (t) и A (t) следующего вида:
п п
L (0=2 W е-щ + Ep (t) + Е* 2 Ci (t) + г~0 г=0
п
]. (3-1)
п
A(t) = — Е~г 2 (0 С-ш,
1=0
где вектор p(t)^H (картановская подалгебра), Tfbij Ttbji^ E—спектральный параметр. Уравнение Лакса (1.7),
199(3.1) эквивалентно динамической системе
п . П
Cli = щ (P, ©i), р = — 2 ^іЮі, с* = («І, COi) oj,
i=0 J=O
mi} = 0. (3-2)
Система (3.2) при Jnij = 0 совпадает с системой (1.13), описывающей обобщенные цепочки Тода. При ті} = = Const^O система (3.2) с помощью замены ^i = = ехр(д, ©і) преобразуется к гамильтонову виду
дН дН 1V /о о\
Pi--j-, Qi-Jfs Ci-Zd М-«'
1 i=o J
где гамильтониан Я определяется формулой
Tl
# = -j р) + 2wехр fe' (3-4)
г=о
и и-« = —Jijif M« — та©j). Симплектическая 2-форма, сохраняемая системой (3.3), является суммой стандартной 2-формы ^jdpi f\dqi в пространстве переменных pf, g* и 2-формы, определенной постоянной кососимметрической матрицей (!у в подпространстве переменных Ci. Простейшим первым интегралом системы (3.3) является гамильтониан Я (3.4). Гамильтонова система (3.3) является интегрируемой в тэта-функциях Римана, так как она допускает представление Лакса со спектральным параметром
(1.7), (3.1).
Укажем явный вид динамической системы (3.3) в случае алгебры Ли типа А„, где корни ©і = еі+\ — Ненулевые элементы матрицы IXij имеют ВИД Щі+і eOjl Рі+і.і = = —«і. Гамильтонова система (3.3) принимает вид
Qi = Ci exp(gi+i - Qi)- Ci-I exp(qi- qt-1), ^ ^
Ci = аіЄхр(ді+2— qi+])~ «і-і exp (qi — qi~\). При Cti = О получаем обычную цепочку Тода, где Ci = — const. С помощью преобразований
q{ ->¦ Qi + In du Ci-*- Ci = Cidi/d{+u O4 Gci = a idJ di+2,
сохраняющих вид системы (3.5), и замены времени t все коэффициенты Oti (ненулевые) можно сделать равными 1.
II. Покажем, что алгебраические аналоги системы Вольтерра (§ 2) также вкладываются в некоторые динамические системы большей размерности, допускающие
200йредставление Лакса со спектральным параметром. Пусть векторы L(і), А(?)«=© определяются формулами
bW= 2 (a^ W еЩ + T Eniij <ч] +
+ 4 EH
i}k (t) • [[^(Di, ^(Oj]. eCOft] j> (3.6)
A (t) = E-1^ha s(t)e-as,
S
где «о, ..., On — допустимый набор корней, к, — константы, удовлетворяющие соотношению &OCUO + ^lWl + . . . ... + ft„(o„ = 0, Aro = I- В формулах (3.6) т.ц = —mj{, Iijh = =-Zjift И ГПц О ТОЛЬКО если вектор COi + COj является корнем, т. е. если (Ciii, (Oj)=TfeO; коэффициенты Zljft ^fc О только если ((O1, (Oj)^o и вектор 03; + COj + COft ЯВЛЯЄТСЯ КОрНЄМ. Уравнение Лакса (1.7), (3.6) эквивалентно условиям AoCOo + . . . + ArnCOn = 0, Zijs = const и следующей системе уравнений:
rtlU = 2 (Isij (O)s, (Oi) — lsji ((оj, (Oj) — Ujs (<BS, (Oi + (Oj)) /csas,
(3.7)
?i = a\ 2 mis (®ai G>0 ksas.
a
В новых переменных Xij = гпфіа^ (ш;, Qj) система (3.7) принимает вид (хц = -Xji):
Xij = (сог, (Oj) 2 A. (Isij («s» ®г) — hji (®s> ®j) — а
— Ujs (®st ©і + (Oj)) Oiajas + Xijl 2j
кs (ЯГ is + (3.8)
аг — ?j ^2 ksXiSJ.
При Zij8 = O динамические системы (3.7), (3.8) эквивалентны системам (2.7), (2.10). Система (3.8) после подстановки
?i == ехр ^2 ^isji Я is'= — qSh Qis = xis
переходит в систему уравнений второго порядка
qn = (Oj) 2 ^a (Zaij (®SJ ®i) —4ji(o)a, (Oj)-Zijs((0e, (Oi-J-(Oj))X
a
X exp (2 km {lim + qjm + ?am)j + 4ij ^2 K fea + fta)^- (3-9)
201III. Построенные динамические системы (3.2) и (3.7) включаются в два класса Th и Bk динамичских систем, допускающих представление Лакса в алгебре Ли © со спектральным параметром Е. Для динамических систем класса Th, содержащего алгебраические обобщения цепочки Тода, вектор A(t) имеет вид (3.1), а вектор L(f) наряду с (3.1) включает разложения по коммутаторам всех корневых векторов ещ в количестве, не превосходящем к. Например, алгебраические обобщения цепочки Тода (1.13) (mi:i = 0) принадлежат классу Ti. Системы (3.2), (3.3) принадлежат классу T2.
Для динамических систем класса Bh, содержащего системы (3.7), вектор A(t) имеет вид (3.6), а вектор L(?) содержит дополнительно к формулам (3.6) еще коммутаторы корневых векторов еа. в количестве, не превосходящем к. Например, гамильтонова система (2.5) принадлежит в силу (2.2) классу B2; динамическая система (3.7) принадлежит классу Bs и т. д.