Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
a? — ?a, ^in = I, (6.14)
и уравнения (6.13) принимают вид
с = [с, b] + jLxa? - ?a, а=* [а, Ь],
[a, 6] = ^1?c-c?. (ЬЛ5)
Таким образом, в силу теоремы 3 уравнения (6.15) при условиях (6.14) допускают представление Лакса и поэтому обладают большим набором первых интегралов.
При |ы = 1 матрицы a, ? можно считать диагональными. В этом случае уравнения (6.15) принимают вид
с== [с, b] H- [я, ?] , a = [a, &], [a, fe]=i[?, с]. (6.16)
181 Эти уравнения в случае симметрической матрицы а и ко-сосимметрических матриц Ъ и с описывают интегрируемый случай вращения jV-мерного твердого тела в «ньютоновском гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом», указанный в работе [26].
При ц —— 1 уравнения (6.15) принимают вид
с = [с, Ъ]-{а, р>, d = [a,6], [a, b] = -{?, с}. (6.17)
Пусть матрицы а, Ъ, с принадлежат алгебре Ли so(2re, [R). Антикоммутирующие матрицы «, ? выберем в виде (4.24). Тогда алгебраическое уравнение (6.17) разрешается аналогично п. IV § 4. Поэтому дифференциальные уравнения (6.17) корректно определены в алгебре Ли so (2/г, К) © so (2п, [R), допускают представление Лакса и обладают большим набором первых интегралов.
§ 7. Матричные уравнения, допускающие представление Лакса с несколькими спектральными параметрами
I. Рассмотрим в алгебре матриц gl (п, O?) или gl (п, С) дифференциальное уравнение второго порядка
a = \a, а]. (7.1)
Очевидно, собственные числа матрицы а или функции Ik = Tr(d)ft являются первыми интегралами уравнения (7.1). В силу (5.1) имеем
(Tm2)" = 2Тг (аа + а2) = 2Тг(а2) = const.
Поэтому справедливо равенство
Tr a2(t}— Tr (a2) t2 + C1 (a) t 4- C2 (а), (7.2)
где T(а2), с\(а) и с*(а) — первые интегралы уравнения (7.1).
Покажем, что уравнение (7.1) имеет большое количество других первых интегралов. Пусть P(а, [а, а]) — произвольный многочлен от некоммутирующих образующих а и [а, а], например
P(d, [a, a]) = Xod + X1 [d, a] + X2a[d, a] + X3[d, а]2. (7.3)
Утверждение 1. В силу уравнения (7.1) справедливо уравнение
P (а, [а, а})' = \Р (а, [а, а|), а). (7.4)
182 Собственные числа матрицы Р{а[а, а]) являются первыми интегралами уравнения (7.1).
Доказательство. Уравнение (7.1) после дифференцирования по t принимает вид а = [а, а]. Подставляя
сюда в силу (7.1) a — [а, а], находим
• »
[а, а] = [[а, я], а]. (7.5)
Из двух уравнений
Ь = [Ь,а], с-[с, а] (7.6);
следует уравнение
(6с)" = [6с, а], (7.7)
также имеющее вид (7.6). Поэтому если Р(Ь, с) — любой многочлен от матриц b и с, то в силу уравнений (7.6) получаем
Рф,с)' ^[Р(Ь,с),а]. (7.8)
Уравнения (7.1) и (7.5) имеют вид (7.6). Поэтому в силу (7.8) справедливо уравнение изоспектральной деформации (7.4). Следовательно, собственные числа матрицы P(a, [а, а]) являются первыми интегралами уравнения (7.1). Утверждение 1 доказано.
Уравнение (7.4) с функциями P(а, [а, а]) вида (7.3) является представлением Лакса с произвольным числом спектральных параметров Xq, Xi, ..., Xn для уравнения (7.1). Как известно, с уравнением Лакса, зависящим от одного спектрального параметра X, связано семейство ри-мановых поверхностей, заданных уравнением
det(L(A) — [х • 1)== 0. (7.9);
Уравнение (7.1) в силу представления (7.4) оказывается связанным с алгебраическими многообразиями произвольной размерности, определенными уравнением
det(P(d, [a, a], X0, ..Хп)-Ц ¦ 1)=0. (7.10)
Все коэффициенты уравнения (7.10) являются первыми интегралами уравнения (7.1).
II. Предположим, что матрица a (t, х) зависит от двух переменных t її X H удовлетворяет уравнению
axi==\ax, а]. (7.11)1
Дифференцируя уравнение (7.11) по х, приходим к уравнению
йх-гг а]. (7.12)1
183 Уравнения (7.11), (7.12) имеют вид (7.6). Поэтому из них также следуют уравнения вида (7.8). Тем самым доказано следующее утверждение.
Утверждение 2. В силу уравнения (5.11) справедливо уравнение
P («х, ахх)' = [Р (ах, ахх), а], (7.13)
где Р(ах, ахх) — произвольный многочлен от матриц ах, ахх• Функции Ti(Pk(ax, а**)), где к = 1, 2, ..., не зависят от времени и являются поточечными первыми интегралами уравнения (7.11).
G уравнением (7.11) связано зависящее от параметра X семейство алгебраических многообразий произвольной размерности, заданных уравнением
det(P(a*, ахх,, K0, ..-1) = 0. (7.14)
Все коэффициенты уравнения (7.14) в силу уравнения Лакса (7.13) не зависят от времени t и являются поточечными первыми интегралами уравнения (7.11).
Уравнение (7.11) для матриц а размера 2X2 вида
a=(q -г)
эквивалентно системе уравнений
rxt — pxq - pqx, Pxt = 2 (prx - pxr), qxt = 2 (qxr — qrx).
Эта система имеет поточечные первые интегралы следующего вида:
-Tj- Traoc = pxqx + гж = C1(^c), -Tj-Tra3ccc = Pxxqxx 4" Yxx = С^x),
III. Покажем, что дифференциальное уравнение
a = [a, a H- с] + [ [с, a], а], (7.15)
где с — постоянная матрица, так же как и уравнение (7.1), допускает представление Лакса с произвольным числом спектральных параметров. Уравнение (7.15) представляется в виде
