Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах имеет многочисленные применения, которые возникают при конкретном выборе ассоциативной алгебры St и автоморфизмов GhH. Перечислим важнейшие из этих применений.
II. Пусть G — Н!-р, где р — целое число. Тогда уравнение (4.2) принимает вид
Н(Ь) —6 = Hp(ai) —ai. (4.6)
При р > 0 решение уравнения (4.6) имеет вид
р-1
ft = 2 Hfc(^1). (4.7)
k=0
При р < 0 решение уравнения (4.6) определяется формулой
ft e _ 2 H-ftK). (4.8)
ft=і
Дифференциальное уравнение (4.1) после подстановки
168 формул (4.7) , (4.8) принимает вид
р > 0: а, « A1 H~A (flj) j - ( Д HA (A1)) (4.9)
' p <0: CLy= - [ S Hft (A1)^ + ^ S [ajj av (4.10)
Полученные уравнения (4.9), (4.10), очевидно, переходят одно в другое после замены H на H-1 и замены р — 1 на —р. Поэтому достаточно рассматривать только уравнение (4.9). В частном случае, когда алгебра 91 является алгеброй функции на множестве целых чисел St = ^(ZiK)1 оператор H является сдвигом на 1: Н(а(?, k)) = a(t, к+ 1) и целое число р = 2, уравнение (4.9) переходит в систему Вольтерра
а{ = di{ai+i — Ui- І). (4.11)
При произвольном натуральном р > 2 уравнение (4.9) в алгебре Sr (Z) К) принимает вид
Iv-1 P-I \
CLi = аЛ S ai+k— 2 вг-fc • (4-І2)
\fe=i k=i }
Системы (4.12) подробно изучались в гл. У.
III. Пусть ассоциативная алгебра Sl является алгеброй комплексных матриц gl (я, С) и автоморфизмы H и G являются внутренними:
H (аг) = am"1, G (х) = ?f^?x, (4.13)
где ос и ?i — некоторые обратимые матрицы. Условие коммутативности GH ¦= HG принимает вид
P11Ocxar1P1 = OLfi11XpiOT1. (4.14)
Обозначим оГ^арГ1 = [а, тогда условие (4.14) имеет вид рл^г1 = х, что при произвольной матрице х возможно лишь, если матрица ц является скалярной: = тЬц.
Вычисляя определитель матрицы Ji = a~1?1a?71, находим, что тп = 1. Таким образом, условие коммутативности двух автоморфизмов (4.13) сводится к условию
ct?^1 = трГЧ т = 1. (4.15)
Уравнения (4.1), (4.2) при условиях (4.13) принимают вид
al = «j?r^?i — bav abaT1 — Ь = a?1fl1?i"1a~1 — av (4.16)
169 Введем обозначения a = ^p1? = a?P Уравнения (4.16)
после умножения первого уравнения справа на ?i а второго уравнения справа на а принимают вид
а = [а, ft], aft — ba = а$\а — a?ia. (4.17) Из равенства (4.15) следуют равенства
?i« = ma?j, a? = m^?a. (4.18);
Поэтому уравнения (4.17) принимают вид
a = [at ft], [а, ft] = ?a - ma?. (4.19);
Согласно проведенному выводу уравнения (4.19) при условии, что матрицы a, ? удовлетворяют соотношению
(4.18): a? = тп = It эквивалентны уравнению Лакса со спектральным параметром (4.4), (4.3), (4.13).
Уравнения (4.19) принимают простейший вид при т = 1:
a = [a, ft], [a, ft] = [?, а], [а, ?] = 0. (4.20)
В этом случае, как показано впервые в работе [52], уравнения a = [a, ft] допускают представление Лакса со спектральным параметром вида
(a + Aa)' = [a + Aa, ft + A?]. (4.21)
Выше указано еще одно представление Лакса со спектральным параметром для уравнений (4.20)—в пространстве линейных операторов над матричной алгеброй
gl (л, С).
Укажем явный вид связи матриц ft и а в силу соотношений (4.19) при т Ф 1. Пусть матрица а диагональ-на с элементами akh, матрица ? имеет в каждой строке
И КаЖДОМ СТОЛбце ТОЛЬКО ОДИН ненулевой ЭЛеМеНТ ?^fc+l.
Тогда соотношение (4.18) сводится к системе уравнений
aAft?ft,ft+l,== т~1PaiA+ IaA+ IjAH-I-
Эти уравнения тождественно справедливы при произвольных ?A,A+i и aUh = Tnht тп= 1. Поэтому уравнения
(4.19) принимают вид
а = [a, ft], Ькі = (mh - mj) ($к>к+лакі. и - mahi}-i?j-i.J •
(4.22);
Согласно проведенному выводу уравнения (4.22) при произвольных числах ?feift+i и произвольном т — примитивном корне п-й степени из 1 (mh Ф т) при к Ф / < п) —
170 допускают представление Лакса со спектральным параметром вида (4.4), (4.3), (4.13) и поэтому обладают большим набором дополнительных первых интегралов. Уравнения (4.22), очевидно, имеют квадратичную нелинейность.
IV. Разберем подробнее специальный случай т = —1. При этом необходимо п = 2к, так как тп — 1. Используем стандартное обозначение для антикоммутатора {X, у} =ху + ух. Уравнения (4.19) при т = — 1 принимают вид
a = [a, Ь], [et, 6] = {?, а), {а, ?} = 0. (4.23)
Уравнения (4.23) существенно отличаются от уравнений (4.20) [52] и являются новыми условиями интегрируемости уравнения а — [a, b] в пространстве матриц.
Покажем, что уравнения (4.23) так же, как и уравнения (4.20), имеют смысл и в вещественном случае (в отличие от общих уравнений (4.22)), причем дифференциальное уравнение (4.23) определено в алгебре ко-сосимметрических матриц so (2re, [R). Пусть матрицы а, b, а кососимметрические и разбиты на двумерные блоки, которые являются матрицами размера 2X2 и обозначаются CLih bih a*j. Матрица ? является диагональной и также разбита на двумерные блоки. При этом в матрицах а и ? отличны от нуля только диагональные блоки, которые имеют вид
/[0 -аД /Pi- 0 \
aU==^ai 0 Ь. Phb= ^O -?l' (4-24)
