Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
a(k + N)a(k + N- 1).. . ct(& + l)?(&)-1 =
= p,? (к) -Ja (к + 1)... а (к + N), (5.9)
где = Ji(I) ц(2)'... ^x(A). Вычисляя определитель обеих частей равенства (5.9), находим = 1. Соотношения (5.9) при p^l, |л" = 1 можно разрешить аналогично п. III и п. IV предыдущего параграфа. В дальнейшем предполагается, что ji = 1; тогда можно считать, что все ^x (к) = 1 (так как ?(&) определены с точностью до произвольного множителя). Без ограничения общности можно считать, что все матрицы а (к) являются диагональными. Тогда в случае общих диагональных матриц а (к) условие (5.9) при Jx = I означает, что матрица ?(&) коммутирует с диагональной матрицей а {к + 1)... а(к + N) общего вида, поэтому матрица ?(/c) также является диагональной. Тогда из условий (5.3) следует, что ?(/c) = = ?(/)= ?, где ? — произвольная диагональная матрица.
II. Проведенные выше рассуждения показывают, что случай произвольных диагональных матриц а(1), ... ..., Ct(TV) и ?(&)=?, |и(А;)=1 является достаточно общим в рассматриваемой конструкции. Обозначим Gti(Zc) = = <%«(&), ?i = ?ii. Уравнения (5.8) при |л(/с)= 1, ?(&) = ? принимают вид
= Р<а((Л + і)ац(к+ 1) — PiGtj- (A + і)ац(к). (5.10)
Система (5.10), очевидно, распадается на п2 линейных систем из N уравнений, связывающих элементы ац(к), bij(k) с постоянными і, / и„ переменным к. Уравнения (5.10) для диагональных элементов имеют вид
Ъц(к + 1) — bif (к) ^(au[к +1)- Oit(к)) и разрешаются в виде
Ъц.(к)¦= ріагі(/с) + Ci,
где Ci — произвольные постоянные. Обозначим
N
п (Cii) = IX Cti (г). (5.11)
г=1
175 Необходимым условием разрешимости системы (5.10) для недиагональных элементов является условие я(а,і)Ф Ф я(<х,). Решение определяется следующими формулами:
?-л (а Л — ?.jt Ca Л
bij (к) = Oij (к) 1 ) г[ +
и \ } 13 \ I л JaJ ^ л JaJ Г
S-I
JV—і TT OL. (к — г)
+ T*? 2м*-')™ . (5-12)
T= О
которые легко проверяются прямой подстановкой в уравнения (5.10). Формулы (5.12) зависят от (N + произвольной диагональной матрицы се(1), ..., a(N)1 ?.
Конструкция динамической системы (5.6), (5.12) является весьма общей и содержит в виде специальных случаев интегрируемые системы, указанные в работе [52] (N=I)1 в работе [56] (N = 2 и a(l)=a(2)), в работе [57] (a(l) = a(2) = ... = a(iV) = a). В последнем случае формулы (5.12) принимают вид
bu (к) = flij (к); V +
о _ о JV-I
+ 4-? Ii aV (к - s) af-a}. (5.13)
af - aJ stt
Формулы (5.13) после подстановки $і = ЬіаГ1 совпадают с формулами (2.11), (2.12) работы [57].
III. Система уравнений (5.6), (5.12) определена в прямой сумме N алгебр Ли gl (п, [R). Согласно проведенному выводу эта система допускает представление Лакса со спектральным параметром в пространстве линейных операторов над алгеброй ^r (Zjy, gl (и,!R)), имеющей размерность n2N. При этом в пространстве матриц размера Ti2NXn2N представление Лакса (4.3), (4.4) относится к классу уравнений, исследованному в работе [58]. Поэтому согласно [58] уравнения (5.6), (5.12) интегрируются в тэта-функциях римановой поверхности
Л (Л, и?) = det(ai (?) G + ЯН — w ¦ 1)=0.
Покажем, что линейный оператор, определенный формулами (5.12) в алгебре Ли St = Ф gl (п, R), является
г=1
176 самосопряженным относительно скалярного произведения
N п
2 S Zij (к) у зі (к). (5.14)
A=I іJ=1
Первое слагаемое формулы (5.12), очевидно, определяет самосопряженный оператор. Второе слагаемое определяет оператор
Ъ — Aa, bij (к) =
JV-1 я—1 JV-1
= CiJ 2 aij (к — s) Д aj (к — г) Д а* (к — г), (5.15)
s=l i=0 r=s
где Cii =(?» — ?j) (я (аг) — Jtfaj))"1. Рассмотрим два скалярных произведения
S—і N-1
(х, А у) S ^ij № CjiIZii (к — <?) Д Ctj (к — г) Д Ctj {к — г),
i,j,h,s г=о r=s
(5.16)
s—X JV-I
(Ах, у) = 2 ^ijSij (? — s) Д a j (к г) Д осі (к — г) Ijji (к).
i,j,k,s г=о r=s
(5.17)
Сделаем в формуле (5.16) замену 5 = N — si, s\ — 1, ... ..., iV — 1, а в формуле (5.17) сделаем замену /с.= + + 5 и воспользуемся условием периодичности 2(/c + iV) — = z (к); получим
(х, А у) - 2 Zij № Cjiyji (к + sj X г, j,fc,s
JV-S1-I
X Д Oti (A-г) II СЧ(к-Г),
г—о r=N—s
1 (5.18)
(Ах, у) = 2 (^i) ^ji (Ai + s) X
JV-1 s—l
X Д «ift + 5 — г) Д aj (к1 -f 5 — г).
r=s г=0
В силу условия периодичности ДЛЯ Cti(Ze) и симметрии Cij = Cji два выражения (5.18) совпадают. Следовательно, справедливо равенство
(xt Ay) - (Ах, у), (5.19)
т. е. оператор А является самосопряженным относительно скалярного произведения (5.14). Поэтому уравнения (5.6), (5.12) являются уравнениями Эйлера в прямой сумме N алгебр Ли gl (w, К) и гамильтоновы на орбитах
12
О. И. Богоявленский 177 присоединенного представления с гамильтонианом
им-4 2^(??-? +
i,j,h \ 1I \ U „ ? _? ^
+ 2 Z aV W л (аЛ — л (а-) ft —s) X
І, j, ft,S \ V \ J/
X П «І № - г) П Ctj (k-r). (5.20)
r=0 r—s
IV. Коэффициенты при ац(к — s) в формулах (5.12) являются симметричными относительно і, 7 при N = 2 VL а(\) — а(2). В этом случае уравнения редуцируются на алгебру Ли so (п, (R) © so (п, (R) [56]. В общем случае N > 2 коэффициенты при ду(/г —s), вообще говоря, не симметричны относительно t, 7 и поэтому уравнения (5.6), (5.12) не редуцируются на прямую сумму алгебр Ли so (п, К). Однако в некоторых предельных случаях такая симметрия имеет место и соответствующая редукция возможна. Сделаем следующие подстановки:
