Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Cti {к) = Ui {к) + єоч (к) Ei (к), а? (/с) - 1, Pi = ? + є?ц,
(5.21)
где |є| < 1. Справедливы формулы
Я (CXi)= Л (Oi)+ Srt(Oi)Pi+ Op (е2), Pi = E1(I) + ...+ Ii(N).
Предположим дополнительно, ЧТО Jt (Oi)— Jt (Gj). Формулы (5.12) после подстановки (5.21) и перехода к пределу при е О принимают вид
Pi-Pj % -X n^1 S-1
+ бЬгб1 2 flii (к - s) п (к - Г) CTi (А — г). (5.22)
Коэффициент ? не влияет на уравнения (5.6). Поэтому при условиях CTi(Zc)-±1 и я(Oi)= л(CTj) формулы (5.22) принимают эквивалентный вид
^ <*) = ^^ 2 № - *) fU № - г) Oj (к - г). (5.23)
S=I
Здесь коэффициенты при ац(к — s), очевидно, симметричны относительно і, }. Поэтому соответствующие урав-
178 нения (5.6) допускают редукцию в прямую сумму N алгебр Ли so (п, К). В пункте III показано, что общее отображение (5.12) является симметрическим относительно скалярного произведения (5.14). Поэтому линейное отображение (5.23), являющееся предельным случаем отображения (5.12), также является самосопряженным.
Таким образом, уравнения (5.6), (5.23) при условиях Oi(Zc)= ±1, Jt(Oi) = л(oj) являются уравнениями Эйлера в прямой сумме N алгебр Ли so (п, К) и гамильтоновы на орбитах присоединенного представления в стандартной симплектической структуре. Эти уравнения являются предельным случаем уравнений (5.6), (5.12), допускающих представление Лакса со спектральным параметром (5.3), (5.4), и поэтому имеют набор первых интегралов, которые являются пределами при є О первых интегралов уравнений (5.6), (5.12).
§ 6. Третья теорема о двух коммутирующих автоморфизмах и ее применения
I. Так же, как и в § 4, предполагаем, что GhH — два произвольных коммутирующих автоморфизма в произвольной ассоциативной алгебре Sf.
Теорема 3. Дифференциальные уравнения в ассоциативной алгебре St вида
сі = CiH (Ъ) -bei + ai -HG"1 (A1), &i=aiG(b)-bau (6.1)
где элементы Ь, Ci связаны соотношением (d\ = const) ^iH2G"1 (b)- bdi = HG"1 (сі) - сі, di = HG"1 Щ, (6.2)
допускают эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.
Доказательство. Определим следующие линейные операторы L и А, действующие в ассоциативной алгебре St:
L =?= ^iG + Xc1H + X2^H2G"1, А = Ь + XHG"1. (6.3)
Уравнение Лакса L = LA-AL эквивалентно следующей системе уравнений (коэффициенты при X0, Xі, X2, X3):
di = aiG (b) - bau сі = с,H (b) - Ъсх + ах - HG"1 (<ц), $1=0 = CZ1H2G-1 (b) - bdi - HG"1 (с,)+ си (6.4) 0 = d\ — HG-1 (d\). 12* 179 При выводе уравнений (6.4) из уравнения Лакса существенно используется, что GhH — коммутирующие автоморфизмы. Уравнения (6.4), очевидно, совпадают с дифференциальными уравнениями (6.1) и алгебраическими связями (6.2). Из представления Лакса следует наличие первых интегралов Ik = T(h(t, %)к). Теорема 3 доказана.
Первая теорема о двух коммутирующих автоморфизмах (§4) является частным случаем теоремы 3 при ^i = O, Ci = I. В этом случае первое дифференциальное уравнение (6.1) превращается в алгебраическую связь (4.2), а алгебраические уравнения (6.2) выполнены тождественно.
II. Укажем некоторые применения конструкции теоремы 3. В дальнейшем предполагается, что d\ = 1, тогда алгебраические уравнения (6.2) принимают вид
H2G"1 (&) — Ь — HG-1 (сі) — сі- (6-5)
Предположим, что H = id. Тогда с\ = Ь является решением уравнений (6.5) и уравнения (6.1) принимают вид
Ь = а\ — G-1 (ai), a\ = AiG (b) — bct[. (6.6)
Важнейшим применением уравнений (6.6) является цепочка Тода. Пусть St = ^r (Zi К) — коммутативная алгебра функций на множестве целых чисел; автоморфизм G является сдвигом: (Gf) (к) = J(к + 1). Тогда уравнения (6.6) принимают вид
Ь(к) = аь(к)-ах(к- 1), а{(к) = а{(к) (Ъ(к+ 1)~ Ъ(к)).
(6.7)
Уравнения (6.7.) после подстановки
ai (?) = exp (q (к + 1) - q (к)), b (к) = q(k) принимают вид уравнений цепочки Тода q(k) = exv(q(k + i)-q(k))~exv(q(k)~ q(k-i)). (6.8)
Уравнение (6.5) разрешается в общем виде, если
HG"1 =(H2G-[)p, G = н<2р-1)/(р_1>, р> 2. (6.9)
Обозначим F = H2G"1 = Н1/(1_р); в силу (6.9) имеем H = F1-*, G = F1 _2р, HG"1 = Fp.
180 Уравнение (6.5) разрешается в виде Ъ = C1 + F(ci)+ ... .. ^ + Fp-1 (сі) • Уравнения (6.1) принимают вид
Cl = C1 (pSF^(C1)) - (^1Fft(C1)) C1 + At1 - Fp Ы,
Vfc=I J Vfc=I / (610
/ 2р—1 \ /Р-1 \ \u.iu;
^i = Ai 2 F^(C1) - 2 Fft(C1) 1 av Vfc=P / V^=O /
III. Пусть алгебра St = gl (п, С) — алгебра комплексных матриц и автоморфизмы GhH определяются формулами
G (х) = ?r^?j, H (х) = щха^1, (6.11)
где Oti и ?i — обратимые матрицы. Условие коммутативности автоморфизмов GhH имеет вид агрГ1= Iipr1Ct1, ^a=X (см. § 4, формула (4.15)). Уравнения (6.1), (6.5) в силу определений (6.11) принимают вид
C1 = C1OTjbar1 — Ъсг + Ci1- aj?^?r^r1, а1= а^Г^р! — bav (6.12)
ai? i^?rlai2 — b = OT1P1C1Pr1^r1 —cv
Умножим первое уравнение (6.12) справа на ai, второе —
~~~ j 2 ___j
на ?i , третье — на Ot1P1 и обозначим а — ax?] , с = сі«і;
получим уравнения
с = [с, 6] + a?i«i — aipia, a = [a, b],
Ia1P1, б] = ajpiCar 1Pr 1OiiPi — Ca1P1.
В силу уравнения (4.15) имеем P1Ct1= Iia1P11 аГ 1PrlaIPi = = (Л-1. Обозначим a = aj?1( ? = Cx1P1; тогда справедливо соотношение
