Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Y' (Zi) = Iim Y' (t).
Тем самым Y' продолжено на [a, b] по левой непрерывности; однако оно не обязательно непрерывно в точках I0.
Замечание 9.2. Поскольку вектор с' (t) времениподобен, N (с (/)) представляет собой линейное пространство размерности п — 1, состоящее из пространственноподобных касательных векторов, и потому множество jf G N (с (t)): (v, v) < 1} компактно.
Определение 9.3. Пусть с: [a, b] -> M —времениподобная геодезическая. Точки и /2 G [a, b], tx Ф t2, называются сопряженными относительно с, если существует не равное тождественно нулю векторное поле J вдоль с, удовлетворяющее уравнению Якоби J" + R (/, с') с' = 0 и условию J (Z1) = J (Z2) = 0. Здесь /' обозначает ковариантную производную векторного поля J вдоль с, индуцированную связностью Леви-Чивита метрики (,) на многообразии М. Точка Z1 ? (а, Ь) называется сопряженной точкой геодезического сегмента с: [a, b] -> М, если точки а и Z1 сопряжены вдоль с. Если же на полуинтервале (а, Ь] нет точек, сопряженных t = а вдоль с, то говорят, что геодезический сегмент с не имеет сопряженных точек. Гладкое векторное поле J вдоль с, удовлетворяющее дифференциальному уравнению J" + + R (/, с') с' = 0, называется якобиевым полем вдоль с.
Определим лоренцеву индексную форму.
Определение 9.4. Индексной формой I: V1 (с) x V1 (с) -> R называется симметрическая билинейная форма, определяемая для любых векторных полей X, Y Q Yj- (с) соотношением
I(X, Y) = -jbJ(X', Y')-(R(X, с') с', Y)] dt. (9.1) Если поле X ? Ух (с) гладкое, то
/ (X, Y) = -(X', Y) \ba + J6e [(X" + R (X, с') с', У)] dt. (9.2) 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
229
Таким образом, если V ? V01- (с) и X —гладкое поле, получается формула
I(X, V) = \ba (X" +R (X, с')с', V) dt, (9.3)
связывающая индексную форму с якобиевыми полями.
Замечание 9.5. Для данного кусочно-гладкого векторного поля X Є Vі (с) можно выбрать разбиение a = t0 Kt1 < ... < fk = b так, чтобы сужение X \[tlt /;+J] было гладким полем для каждого і — 0, 1, ..., k —1. Положим
Л,о (Xr) = X' (a+), A,ft (Xr) = -X' (Ь~)
и
для 1=1, 2..... k — 1. Применяя равенство (9.2) к каждому
интервалу разбиения (tt, ti+1), нетрудно получить формулу второй вариации
ПХ, n = 2Lo<А<і(Х')> У) + ІЬа<Х" + Я(Х> с')'. Y)dt- (9.4)
В таком виде формула второй вариации приведена в работах Хокинга и Эллиса (1977, с. 108) и Бэлтса (1977, с. 86—87) (см. Чигер и Эбин (1975, с. 21)).
Чтобы привести геометрические приложения индексной формы, полезно дать следующее (стандартное) определение.
Определение 9.6. Пусть с: [a, b] -> M —гладкая кривая. Вариацией (или гладкой гомотопией) с называется гладкое отображение a: [a, b] x (—є, є) -> M (є > 0 —некоторое число), удовлетворяющее условию a (t, 0) = с (t) для всех t ? [а, Ь]. Вариация а называется собственной, если a (a, s) = с (а) и a (b, s) = с (b) для всех s ? (—є, є). Непрерывное отображение a: [a, b] x (—є, є) -> M называется кусочно-гладкой вариацией с, если существует конечное разбиение а = /0 < Z1 < ... < < th = b отрезка [а, Ь], такое, что а \ [tt, ti+1] x (—є, є) суть гладкая вариация с \ [tt, /;+1] для каждого і = 0, 1, ..., k — 1.
Если в определении 9.6 положить as (t) = a (t, s), то для гладкой вариации а каждая кривая as: [a, b] -> M является гладкой, и, таким образом, отображение s -> as представляет собой деформацию кривой с в «соседние кривые» as. Если а — кусочно-гладкая вариация, то соседние кривые будут кусочно-гладкими. Если а —собственная вариация, то все соседние кривые начинаются в с (а) и заканчиваются в с (b). При определении вариаций времениподобных кривых обычно ограничиваются рассмотрением вариаций, обладающих дополнительным свойством, чт<? 230 Гл. 9. Теория Морса об индексе для лоренца ых мнегсобрсгий
все соседние кривые as: [a, b] -> M времениподобны. Однако если пользоваться определением 9.6, то это ограничение оказывается излишним согласно следующей лемме.
Лемма 9.7. Пусть a: [a, b] x (—є, е) -> M —кусочно-гладкая вариация времениподобного геодезического сегмента с: [a, b ] —> -> М. Тогда существует положительная постоянная б, зависящая от а и такая, что соседние кривые as времениподобны для всех s, подчиняющихся условию |s| с б.
Доказательство. Предположим сначала, что а — гладкая вариация. Выберем еь удовлетворяющее условию 0 < E1 < е, а в остальном произвольное. Тогда по определению 9.6 а дифференцируема на компактном множестве [a, b] X I—еь K1]. В силу определения дифференцируемое™ а продолжается до гладкого отображения открытого множества, содержащего прямоугольник [a, b \ X I—E1, E1]. Так как с —времениподобная геодезическая, то векторы с' (а+) и с' (Ь~) времениподобны. Из этого и из возможности продолжения а па открытое множество, содержащее [a, b] X X [—E1, P1], вытекает существование постоянной бх > 0, такой, что касательные векторы a's (а+) и a's (b~) к соседним кривым ав временнподобны для всех s, удовлетворяющих неравенству Is I < <бх.
Предположим теперь, что нельзя найти такое б > 0, чтобы все кривые as при |s| < б были времениподобны. Тогда мы можем указать последовательность Sn -> 0, такую, что кривые as не являются времениподобными. Вследствие этого существ) ет последовательность tn [a, b], для которой неравенство g (а/ (/„), a'sn (tn)) 0 справедливо при любом п. Ввиду компактности прямоугольника [a, b] X [—єь E1] у последовательности {(/,,, s„)} есть точка накопления (t, s). В силу того что Sn -> 0, точка накопления должна иметь вид (/, 0); при этом из существования бх вытекает, что t ф а, Ь. Переходя в неравенстве g (a's (tn), (tn)) ^=
