Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
221
два направленных в будущее изотропных вектора Vn и wn, для которых ехрр (vn) = ехрр (wn) = qn. Направленные в будущее непространственноподобные направления в точке р образуют компактное множество направлений. Поэтому направления, определяемые последовательностями \vn] и \wn], имеют предельные V и w соответственно. Если VHW определяют различные направления, то, применяя лемму 8.14, получаем две максимальные изотропные геодезические из р в q. В этом случае q —точка раздела для р. С другой стороны, векторы vhw могут определять одно направление. Пусть это так. Прежде всего заметим, что существуют постоянные а > 0 и b >0, такие, что av = bw и ехрр (av) = = expp(bw) = q. Из леммы 8.25 вытекает, что для некоторой подпоследовательности \т) последовательности \п} справедливы предельные соотношения Vm av и wm av. Однако в силу того, что Vm Ф wm, а ехрр (vm) = ехрр (wm), заключаем, что (ехрр).,. должно быть вырожденно в av. Поэтому q сопряжена р вдоль у (t) = ехрр (tav), и в силу равенства d (р, q) = 0 получаем, что q —точка раздела для р вдоль у (t). ?
Интересно отметить, что полученный выше результат имеет место без каких бы то ни было предположений о времениподобной или изотропной геодезической полноте (М, g). В частности, множество изотропного раздела и множество непространственноподобного раздела в глобально гиперболических пространственно-временных многообразиях, согласно предложению 8.29, замкнуты, даже если функция s: T^M -> R U {оо} и не является полунепрерывной сверху.
Хорошо известно (см. Кобаяси (1967, с. 100—101)), как, используя множество раздела, можно показать, что компактное риманово многообразие является непересекающимся объединением открытой клетки и замкнутого подмножества (множества раздела фиксированной точки р Q М), представляющего собой непрерывный образ (при отображении ехрр) (п — 1)-мерной сферы. Таким образом, множества раздела наследуют многие из топологических свойств самого компактного многообразия. Для лоренцевых многообразий точки раздела можно определить (в крайнем случае используя лоренцево расстояние) только для непространственноподобных геодезических. Значит, соответствующий результат для пространственно-временных многообразий должен описывать топологию не всего многообразия М, а только множества J+ (р) для произвольных р Q М. Чтобы получить это разложение, необходимо предположить, что (M, g) времениподобно геодезически полно, равно как и глобально гиперболично для того, чтобы функция s: Т_ХМ -> R [J {оо}, введенная в определении 8.3, была непрерывной, а не только полунепрерывной снизу (см. предложения 8.5 и 8.7). 222
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
Напомним, что контуром будущего E+ (р) произвольной точки P^M называется E+ (р) = J+ (р)\1+(р), а через C+ (р) обозначается множество непространственноподобного раздела точки р в будущем.
Предложение 8.30. Пусть (M, g) глобально гиперболично и времениподобно геодезически полно. Тогда для каждой точки р ? M множество J+ (р)\[С+ (р) U E+ (р)) является открытой клеткой•
Доказательство. Пусть B = J+ (р)\[С+ (р) [J E+ (р)]. Тогда q ^ В в том и только том случае, если существует максимальная направленная в будущее времениподобная геодезическая, которая начинается ври продолжаема за q. Тем самым B = I+ (р)\С+ (р), откуда следует, что В открыто. Множество T^1M |р = {и ? TpM: V направлен в будущее и g (v, v) = —1} гомеоморфно . Пусть Я: Т_ХМ |р -> —соответствующий гомеоморфизм. Определим s: к"^1 R U {оо} по формуле s = s о Я-1. Индуцированный гомеоморфизм В на множество \(х, t) Є x x r: 0 < t < s (а')} определяется по правилу q (Я (г), t), где V—вектор в Т_\М, для которого ехрр (sv) является единственной (с точностью до перепараметризации) максимальной геодезической из р в q и ехрр (tv) = q. Пусть /: [0, оо ] [0, 1 ] — гомеоморфизм, причем / (0) = 0 и / (оо) = 1. Тогда отображение (х, t) -> (х, / (t)!f (s (х))) показывает, что В гомеоморфно R"-1 x x (0, 1). Утверждение доказано. ?
Замечание 8.31. Из того, что I+ (р) cr J+ (р), доказанное предложение позволяет получить некоторую косвенную информацию о топологическом строении I+ (р). Пример статической вселенной Эйнштейна показывает, что I+ (р) не обязательно является открытой клеткой, даже если (М, g) глобально гиперболично. В то же время из глобальной гиперболичности (М, g) следует, что (I+ (р), ё I I+ (р)) также является глобально гиперболическим. Поэтому I+ (р) топологически можно представить в виде произведения I+ (р) = S X R, где S есть (п — 1)-мерное многообразие (см. теорему 2.13). Глава 9
ТЕОРИЯ МОРСА ОБ ИНДЕКСЕ ДЛЯ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИИ
Пусть у: [0, а) M есть заданная непространственноподобная геодезическая. Если у (t0) —точка раздела в будущем для у (0) вдоль у, то, как мы видели в гл. 8, для любого t < t0 геодезический сегмент у I [0, t) является наидлиннейшей кривой среди всех непространственноподобных кривых многообразия М, идущих из у (0) в у (t). Можно несколько смягчить формулировку и поставить вопрос: выполняется ли неравенство L (у) ^ L (а) в классе всех непространственноподобных кривых а, проходящих из 7 (0) в 7 (^0) достаточно «близко» к у? Если это так, то 7 (Z0) либо совпадает с первой точкой, сопряженной 7 (0) вдоль t в будущем, либо располагается перед ней. Главное различие здесь заключается между условием «среди всех из М» для точек раздела и условием «близко к 7» для сопряженных точек. Важность такого различия иллюстрируется тем фактом, что, хотя ни одно двумерное пространство-время не имеет изотропных сопряженных точек, все изотропные геодезические статической вселенной Эйнштейна обладают точками изотропного раздела и в прошлом, и в будущем.
