Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся теперь к аналогу наблюдения Клингенберга, сделанному им для римановых многообразий, о том, что если q является ближайшей к р точкой раздела и- q не сопряжена р, то существует геодезическая петля в точке р, проходящая через q. Для лоренцевых многообразий, однако, вереи другой результат. Если \qn\ cz Cf (р) сходится к q ? Сдг (р), то в гдобал^но гипер- 8.3. Множество непространственноподобного раздела 221
болическом пространстве-времени вследствие непрерывности лоренцевой функции расстояния d (р, qn) -> 0. Таким образом, есть основания ожидать, что для глобально гиперболических пространств не существует ближайшей к р времениподобной точки раздела q, которая была бы не сопряжена р.
Теорема 8.24. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое про-странство-время. Предположим, что у р ? M есть ближайшая к ней точка непространственноподобного раздела в будущем (или в прошлом). Тогда либо q сопряжена точке р, либо q является точкой изотропного раздела для р.
Доказательство. Пусть q —точка раздела в будущем для точки р, ближайшая среди точек раздела для р относительно лоренцева расстояния d. Допустим, что q не является ни сопряженной точке р, ни точкой изотропного раздела для р. Тогда р <С q, и по теореме 8.12 найдутся по меньшей мере две направленные в будущее максимальные времениподобные геодезические C1 и C2 из р в q. Пусть у: [0, а) M — направленная в прошлое времениподобная кривая, исходящая из q. Выбирая а > 0 достаточно малым, мы можем предполагать, что образ кривой у лежит в хронологическом будущем точки р. Тогда из того, что р « С У (t) С Я Для всех t, 0 < t < а, при помощи обратного неравенства треугольника получаем d (р, q) d (р, у (t)) + -fd (у (t), q)> d (р, у (t)). Вследствие того что q является ближайшей точкой раздела, точка у (t) на каждой времениподобной геодезической из р в у (t) появляется раньше, чем точка раздела для р. Тем самым всякая времениподобная геодезическая из р в у (t) максимальна. Из того, что q не сопряжена р вдоль C1, вытекает, что существует времениподобная геодезическая из р в у (t), находящаяся вблизи C1 для всех достаточно малых t. Аналогичными рассуждениями доказывается существование времениподобной геодезической из р в у (t), находящейся вблизи с2, для всех достаточно малых t. Из существования двух максимальных времениподобных геодезических, соединяющих р с у (t), вытекает, что у (t) является точкой раздела для р; это приводит к противоречию вследствие неравенства d (р, у (t)) < d (р, q). ?
Для римановых многообразий множество единичных касательных векторов в любом касательном пространстве компактно. Поэтому непосредственным следствием римановых аналогов предложений 8.5 и 8.7, доказанных выше, является следующее утверждение: множество раздела каждой точки в полном римановом многообразии —замкнутое подмножество в M (см. Громол, Клингенберг и Мейер (1971, с. 187—188), Кобаяси (1967, с. 100 — 101)). Для лоренцевых многообразий множество времениподобного раздела в общем случае не является замкнутым подмножеством 218
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
в М, как показывает пример статической вселенной Эйнштейна (пример 4.11). Однако для глобально гиперболических пространств можно показать, что множество непространственноподобного раздела и множество изотропного раздела любой точки представляют собой замкнутые подмножества M (см. Бим и Эрлих (19796, предложение 6.5)). Из приводимого ниже примера 8.28 будет видно, что предположение о глобальной гиперболичности является необходимым для замкнутости в M множества непространственноподобного раздела. Доказательство для лоренцевых многообразий оказывается сложнее соответствующего доказательства для римановых многообразий вследствие отсутствия единичных изотропных касательных векторов.
Обратимся теперь к доказательству замкнутости множеств непространственноподобного и изотропного разделов для глобально гиперболических пространств. Докажем сначала следующую техническую лемму.
Лемма 8.25. Пусть (M, g) —сильно причинное пространство-время. Предположим, что р < qn и qn q Ф р. Если expp(u„) = qn, ехрр (v) = q и направления непространственноподобных векторов vn сходятся к направлению вектора v, то vn v.
Доказательство. Выберем числа ап > 0 так, чтобы векторы wn = anvn сходились к v. Тогда последовательность точек rn = — ехрр (wn) должна: 1) быть определена для больших п и 2) сходиться к q. Ввиду причинности (М, g) найдется только одно значение tn параметра t, для которого ехрр (tnw„) = qn, а именно tn = а'п. Используя сходимость rn -* q, qn -* q и сильную причинность (М, g) вблизи q, находим, что tn1. В силу равенства Vn = ^wn последовательность сходится к v. ?
Зафиксируем точку р ? М. Касательный вектор v G TpM сопряжен точке р в TvM, если отображение (ехрр)* вырожденно в v. Точки, сопряженные р, должны образовывать в TpM замкнутое подмножество в области определения ехрр вследствие того, что (ехрр)„. является невырожденным на открытом подмножестве пространства TpM. Точка q ? M сопряжена точке р вдоль геодезической с, если существует сопряженная точка v G TpM, для которой ехрр V = q и с является (с точностью до перепараметризации) геодезической ехрр (tv). Будем называть точку q непространственноподобно сопряженной точке р в будущем, если q G М, р с q и q сопряжена точке р вдоль непространственно-подобной геодезической. Непространственноподобно сопряженные точки в прошлом определяются аналогично. Если (М, g) является причинным пространством-временем, то р не может лежать ни в множестве непространственно сопряженных ей точек в будущем, ни в множестве непространственно сопряженных ей точек 8.3. Множество непространственноподобного раздела
