Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
8 Дж . Бим, П. Эрлих226 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
проектируется в индексную фактор-форму I: ?0(?) x X0 (?) -* R. Можно показать, что изотропный геодезический сегмент ?: [а. b ) M не имеет на [a, b ] сопряженных точек тогда и только тогда, когда фактор-форма I: X0 (?) x X0 (?) -* R отрицательно определена (ср. Хокинг и Эллис (1977, § 4.5), Бёлтс (1977, ч. 2 и 4)).
Обозначим через Jt (с) (соответственно Jt (?)) пространство полей Якоби вдоль с (соответственно ?), удовлетворяющих условию Y (a) = Y (b) = 0. Определим индекс Ind (с) геодезической с (соответственно Ind (?) геодезической ?) как точную верхнюю грань размерностей всех векторных подпространств пространства KJ- (с) (соответственно X0 (?)), на которых форма / (соответственно I) положительно определена. В разд. 9.1 и 9.3 мы докажем соответственно теорему Морса об индексе
Ind (г) = 2] dim Jt (с)
і € (а, !:)
для времениподобной геодезической с: [а, Ь]->М и теорему Морса об индексе
Ind (?) = S AlmJt (?)
і € (а, і)
для изотропной геодезической ?: [a, b ]М. Причиной раздельного рассмотрения времениподобного и изотропного случаев является то обстоятельство, что для получения теоремы Морса об индексе изотропной, но не времениподобной геодезической необходимо использовать индексную фактор-форму /: S0 (?) x X Жо (?) -» R.
В разд. 9.2 мы займемся изучением теории пространств вре-мениподобных путей для сильно гиперболического пространства-времени, подводя итог некоторым последним результатам Улен-бека (1975). И здесь опять, поскольку для разработки теории римановых пространств путей необходима полнота, неудивительно, что для лоренцевой теории требуется глобальная гиперболичность.
Однако между лоренцевыми и римановыми пространствами путей имеется существенное различие. Пусть (N, g0) — полное риманово многообразие, кривизна Риччи которого положительна и отделена от нуля. По теореме Майерса N компактно. В книге Милнора (1966, теорема 19.6) показано, что если в таком рима-новом многообразии точки р и q не сопряжены, то пространство путей имеет гомотопический тип клеточного комплекса,
у которого в каждой размерности лишь конечное число клеток. Тем не менее пространство путей, как видно на примере сферы Sn с обычной полной метрикой постоянной секционной кривизны, может быть и бесконечным клеточным комплексом. Напротив, если9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
227
(М, g) —произвольное глобально гиперболическое (следовательно, некомпактное) пространство-время и р, q с M —любые две его точки, удовлетворяющие условию р С Я (тем самым р и q не сопряжены), ТО времениподобное пространство путей C(p,q) имеет только конечное число клеток.
Это поразительное несходство между лоренцевым її римановым пространствами путей является результатом следующего фундаментального различия между лоренцевыми и римановыми многообразиями. Если у—произвольная непространственноподобная кривая из р в q в произвольном пространстве-времени и d (р, q) конечно, то у имеет ограниченную лоренцеву длину вследствие того, что L (у) < d (р, q). С другой стороны, любая кривая о в римановом пространстве путей удовлетворяет условию L0 (ст) ^ 5s d (р, q) и, значит, имеет длину, ограниченную снизу, а не сверху.
9.1. Теория Морса для времениподобных
геодезических
В этом разделе мы дадим подробное доказательство теоремы Морса об индексе для времениподобных геодезических в произвольном пространстве-времени. Несколько разных подходов к теории Морса для времениподобных геодезических при различных условиях причинности опубликовано в работах Уленбека (1975), Вудхауза (1976), Эверсона и Толбота (1976) и Бима и Эрлиха (1979в). Здесь мы предлагаем подход, который следует доказательству теоремы Морса об индексе для произвольного риманова многообразия, приведенному в книге Громола, Клингенберга и Мейера (1971, разд. 4.5 и 4.6). Похожее изложение результатов этого параграфа, включая теорему 9.22, дано Бёлтсом (1977).
Пусть (M, g) —произвольное пространство-время размерности не меньшей двух. Лоренцеву метрику g всюду в этом разделе будем обозначать через (, ). Будем также предполагать, что все времениподобные геодезические с: \а, b ] -> M имеют единичную скорость, т. е. (с' (і), с' (/)) ^= —1 для всех t [а, Ь].
Определение 9.1. Непрерывное отображение Y: [a, b ] -> TM называется кусочно-гладким векторным полем вдоль (времениподобной геодезической) с: [а, Ь]-+М, если Y (t) ? Tc ^M для всех t (z [а, Ь] и существует конечное разбиение a = i0 < Z1 < ... < th = b сегмента [а, Ь], такое, что У|/ j: ti+i ] -> M —гладкое отображение для каждого і = 0, 1, ..., k — 1. Обозначим через V1 (с) R-линейное пространство всех кусочно-гладких векторных полей У вдоль с, для которых равенство (У (/), с' (/)) = 0 справедливо при любом t f [а, Ь]. По-8*228 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
ложим Kjf (с) = \Y є Y1- (с): Y (a) = Y (b) = 0} и N (с (/)) = = \v е TcinM: (и, с' (/)} = 0\.
Для данного Y ? Vх (с) существует конечное множество точек I0 cz (a, b), такое, что на [а, Ь]\10 векторное поле Y дифференцируемо. Построим отображение Y': [a, b ] -> М, полагая Y' (t) — = V7- Y (Jt) для t ? [а, 6] \/0 и доопределяя в точках tt ? /0 посредством соотношения