Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
219
в прошлом потому, что непространственноподобная геодезическая проходит через р самое большее один раз и (expj,)* невырожденно в начальной точке пространства TpM.
Замечание 8.26. Однако даже в глобально гиперболических пространствах точки могут быть сопряженными сами себе вдоль пространственноподобных геодезических. Это и происходит в любой статической вселенной Эйнштейна размерности ^3.
Лемма 8.27. Пусть (И, g) —глобально гиперболическое пространство-время. Тогда множество точек непространственноподобно сопряженных в будущем (соответственно в прошлом) является замкнутым подмножеством в М.
Доказательство. Предположим, что {</„} —последовательность точек, непространственноподобно сопряженных точке р в будущем, причем qn q. Тогда р ф q, р < q и для любого п р < qn. Пусть vn G TpM —непространственноподобный вектор, такой, что (ехрр)* вырожденно в Vn и ехрр (vn) = qn. Тогда сп (t) = ехрр (tvn) является направленной в будущее, непродол-жаемой в будущее геодезической, исходящей из р и содержащей qa. Согласно предложению 2.18, геодезические Cn должны иметь предельную кривуюу. Так как(тИ^) глобально гиперболично, то у должна содержать q. Используя сильную причинность (М, g) и тот факт, что кривая 7 предельная для непространственноподобных геодезических, получаем, что сама 7 является непростран-ственноподобной геодезической. Пусть V — единственный (непространственноподобный) вектор, касательный 7 в точке 7 (0) = р и такой, что ехрр (v) — q. Из того, что 7 — предельная кривая последовательности \сп], вытекает, что у последовательности \п\ должна существовать подпоследовательность \т\, для которой направления векторов Vm сходятся к направлению вектора v. На основании леммы 8.25 можно заключить, что Vm v. Так как векторы Vm принадлежат множеству всех точек, сопряженных р в TpM, и это множество является замкнутым подмножеством области определения ехр,„ то вектор v сопряжен р в TpM. Вследствие того что V — направленный в будущее непространственноподобный вектор, точка q = ехрр (v) является непространственноподобно сопряженной точке р в M в будущем. Это доказывает замкнутость в M множества точек, непространственноподобно сопряженных в будущем. Аналогичные рассуждения показывают, что множество точек, непространственноподобно сопряженных в прошлом, также замкнуто. ?
Пример 8.28. Пусть на M = S1 X R = {(0, t) 'O c 0<2п, Z ^ R| введена плоская метрика dsz = d02 —df. Это пространство-время представляет собой двумерную статическую вселен- 220
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
ную Эйнштейна. Оно глобально гиперболично и не имеет сопряженных точек. Если р — (0, 0), то множество точек изотропного раздела в будущем С% (р) состоит из единственной точки (it, п). Множество времениподобного раздела в будущем Ct (р) совпадает с множеством {(л, t): t > л] и потому не замкнуто. С другой стороны, C+ (р) = Cj (р) U Cn (р) замкнуто.
Если из M выбросить две точки (±п/4, 2л), то мы получим сильно причинное пространство-время (M', g | M'), которое не является глобально гиперболическим. В этом пространстве-времени (M', g I M') множество изотропного раздела в будущем C+ (р) не замкнуто.
Предложение 8.29. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое пространство-время. Для любой точки р ? M все множества С%{р), Cn (р), Ct (р), Cj (р) являются замкнутыми подмножествами в М. В частности, замкнуты и множество изотропного раздела, и множество непространственноподобного раздела.
Доказательство. Так как рассмотрение этих четырех случаев весьма похоже, покажем только, что Cjv (р) замкнуто в М. Пусть Яп Є Cn (р) и cjn -> q. Ввиду того, что (М, g) глобально гиперболично, q Ф р и q Є J+ ІР)- Из определения множества Cn (р) видно, что d (р, qn) = 0. Используя непрерывность лоренцева расстояния для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий (лемма 3.5), получаем, что d (р, q) = lim d (/7, qn) = 0. Пусть у—произвольная непространственноподобная геодезическая из р в q. Равенство d (р, q) = 0 означает, что у является максимальной изотропной геодезической и что точка раздела для точки р вдоль у не может появиться прежде q.
Возможны два случая. Либо бесконечно много точек qn являются непространственноподобно сопряженными точке р в будущем, либо для больших п точек, непространственноподобно сопряженных точке р в будущем, среди qn нет. В первом случае, применяя лемму 8.27, находим, что если точка q непространственноподобно сопряжена р вдоль у в будущем, то q является точкой раздела вдоль у потому, что точка раздела вдоль у либо совпадает с первой сопряженной точкой вдоль у, либо появляется 1 раньше. Если же q непространственноподобно сопряжена р в будущем вдоль некоторой другой непространственноподобной геодезической у', то у' должна быть изотропной. Из леммы 8.13 тогда вытекает, что q —точка раздела и вдоль у, и вдоль у'.
Допустим теперь, что для всех достаточно больших п точки qn не являются непространственноподобно сопряженными точке р в будущем. В силу теоремы 8.15 для каждого большого п существуют по меньшей мере две максимальные изотропные геодезические из р в qn¦ Тем самым для каждого большого п найдутся 8.3. Множество непространственноподобного раздела
