Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
0, справедливом при любом п, к пределу при п —*¦ оо, получим соотношение g (с' (/), с' (/)) 0, которое противоречит тому, что с — времениподобный геодезический сегмент. Таким образом, мы видим, что если a: [a, b J X (—е, е) ->- M —гладкая вариация времениподобной геодезической с: [a, b I -> УМ, то существует положительная постоянная б, такая, что a's (а+) и a's (b~) — вре-мениподобные векторы, a as — времениподобные кривые для всех |s| < б.
Пусть теперь a: la, b I х (—є, в) -> M — кусочно-гладкая вариация времениподобной геодезической с: [а, Ь]-*¦ М. По определению 9.6 найдется конечное разбиение а = < Z1 < ... < < tk = b отрезка [а, Ь], такое, что а | [tt, /г+1] х (—є, ё) является гладкой вариацией кривой с [/,-, /;+11. Из предыдущего 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических 231
абзаца вытекает существование постоянной б, > 0, такой, что для всех s, подчиненных условию \s\ с б і, касательные векторы as [tt) и a's (tj+1) времениподобны и as ] Ui, /і+1] — времениподобная кривая. Требуемое б получаем, полагая б — min (б0, 6.1, .... Sft..!). ?
Замечание 9.8. Для вариаций изотропных геодезических результата, соответствующего лемме 9.7, не существует (см. определение 9.58 и далее).
Теперь индексную форму можно следующим образом связать с вариациями времениподобных геодезических сегментов с: [о, Ь]-*¦ М. Для данного У ^ V1; (с) определим каноническую собственную вариацию а: [а, Ь ] х (—є, є) -> M геодезической с, положив
а (/,a) =--- ехре(/) (sY (/)). (9.5)
Прежде всего следует заметить, что так как с ([а, b1) — компактное подмножество М, а дифференциал экспоненциального отображения exppsH не имеет особенностей в начальной точке TpM для всех р ? М, то для данного с (la, b I) можно найти е > 0, такое, что expf (г) (яУ (/)) определено для всех s, подчиненных условию Is I < е, и для каждого t G [а, Ь]. Во-вторых, из определения 9.1 вытекает, что а (/, s), определяемое формулой (9.5), является кусочно-гладкой вариацией с. Следовательно, для данного У ? ? V0-1 (с) в силу леммы 9.7 существует постоянная б > 0, такая, что соседние кривые as: t -*¦ a (t, s) времениподобны для всех s, удовлетворяющих условию —б < S < б.
Пусть a: [a, b] х (—-е, е) —>- M — произвольная гладкая вариация с: [a, b} -> М. Определим векторное поле V вариации а как векторное поле V (/) вдоль с, задаваемое формулой
V(t) = -?-(a(t, s))\s,_0. (9.6)
Более точно, пусть d.'ds — координатное векторное поле на прямоугольнике \а, b] X (—е, є), соответствующее параметру s. Тогда векторное поле вариации задается формулой
V V=a^ U о,- M
Для кусочно-гладкой вариации а: [а, b] х (—е, е) -> M непрерывное кусочно-гладкое векторное поле вариации получается следующим образом. Пусть а — t0 < tx < ... < th — b — разбиение отрезка [а, Ь], такое, что а | [th ii+1] х (—є, є) — гладкое отображение для всех і = 0, 1, ..., k — 1. Для данного 232 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
t G [а, Ь] выберем номер і так, чтобы Zi с t < ti+1, и положим
V (t) = [a I Iti, ti+1) x (—є, е)]+-|-|(л0).
Каноническая вариация (9.5) обладает следующим свойством: каждая кривая« -> a (t, s) суть геодезическая s -> ехрс w (sY (/)), имеющая при S-O начальное направление У (/). Вследствие этого векторное поле канонической вариации (9.5) есть в точности векторное поле Y ? VJ (с).
Если положить L (s): = L (as) L (t -> a (t, s)), то L' (0) —
=L (s) Is=O = O в силу того, что с — гладкая времениподобная геодезическая, а
L"(0) = ^L(s)\s^ = I(Y, Y). (9.8)
Таким образом, если I (Y, Y) > 0 для некоторого Y ^ VJ (с), то каноническая собственная вариация a (t, s), определенная формулой (9.5), использующей У, будет выдавать времениподобные соседние кривые as, соединяющие с (а) с с (b) и такие, что L (as) > L (с) для достаточно малых s. Итак, если времениподобная геодезическая с: [a, b] -> M максимальна (т. е. L (с) = = d (р, q)), то индексная форма /: VJ (с) х VJ (с) -> R должна быть отрицательно полуопределенной. Прежде чем доказывать теорему Морса об индексе для времениподобных геодезических, необходимо установить следующую более четкую взаимосвязь между сопряженными точками, якобиевыми полями и индексной формой. Заметим, во-первых, что нулевое пространство индексной формы на V0 (с) состоит из гладких якобиевых полей в V0 (с) и, во-вторых, что с свободна от сопряженных точек на [а, Ь ] тогда и только тогда, когда индексная форма отрицательно определена на V0 (с).
Прежде всего выведем из дифференциального уравнения Якоби простое, но важное следствие.
Лемма 9.9. Пусть с [a, b 1-> M — времениподобный геодезический сегмент и Y — произвольное якобиево поле вдоль с. Тогда (У (/), с' (/)) является линейной функцией t, т. е. (У (/), с' (/)) = = at + ? для некоторых постоянных а, ? ? R.
Доказательство. Вследствие того что с — геодезическая, V.-c' = 0, и, значит, (У, с')' = (У, с') + (У, с") = (У, с'). Дифференцируя еще раз, в силу косой симметрии тензора Ри-мана—Кристоффеля по первым двум индексам получаем, что
(У, с')" = (У", с') + (У, с") = (У", с') = -(R (У, с') с', с') = 0. 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
