Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
233
Таким образям, (У, с') — линейная функция.
Следствие 9.10. Если Y — произвольное якобиево поле вдоль времениподобной геодезической с: [a, b] -> M и Y (Z1) = У (Z2) = = 0 для различных Z1, t2 ? ta> b], то Y ? Vх (с).
Следствие 9.11. Если Y ? Vg(c) — поле JIkoou, то Y' ? V1(c).
Используя теперь каноническую вариацию, мы можем из существования точки t0 Q (а, Ь), сопряженной t = а вдоль с, вывести следующий геометрический факт.
Предложение 9.12. Пусть времениподобная геодезическая с: la, b] -> M содержит точку t0 Q (а, Ь), сопряженную t=a вдоль с. Тогда существует кусочно-гладкая собственная вариация as геодезической с, такая, что L (as) > L (с) для всех s Ф 0. Таким образом , геодезическая с: [a, b] -> M не максимальна.
Доказательство. В силу формул (9.5), (9.8) и леммы 9.7 достаточно построить кусочно-гладкое векторное поле Y ^ Vх (с), удовлетворяющее неравенству / (У, У) > 0, и взять в качестве а каноническую вариацию, ассоциированную с У. С этой целью поступим следующим образом. Пусть Y1 — не равное тождественно нулю якобиево поле вдоль с, подчиненное условию Y1 (а) = Y1 (/„) = 0. Согласно следствию 9.10, Y1 ? V1 (с). Из равенства Y1(O) = Y1 (Z0) = 0 в силу следствия 9.11 вытекает, что Y[ ? ? V1 (с). А из того, что Y1 (t0) = 0 и Y1 — не равное тождественно нулю якобиево поле, следует, что У[ (Z0) — (ненулевой) пространственноподобный касательный вектор.
Обозначим через I ( , )sa ограничение индексной формы на сегмент С Ifai S]'.
Так как Y1 — якобиево поле, то из определения 9.4 (формула (9.2)) получаем, что
для любого Z ? Vі- (с).
Теперь можно построить кусочно-гладкое векторное поле У є V0L (с) так, чтобы / (У, У) > 0. Пусть г|з: [a, b]R-гладкая функция, удовлетворяющая условию г|з (а) = г|з (b) = 0 и 1I5 (to) = 1- Пусть Z1 — единственное гладкое векторное поле, параллельное вдоль с и такое, что Z\ (to) = —Y\ (to). Тогда Z — = 1^Z1 Q V^ (с). Определим однопараметрическое семейство Уи ? Є Vo (с)' полагая
I (V, Г)*=-}* [(Г, Г)-(Я (К, с') с', W)] dt.
I (Yu Zfa = — (у'\, 7) j»
(9.9)
Y1 (t) &Z(t), если fl<U/0, eZ(t), если to^t^b.
o, 234 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
Тогда, используя формулу (9.9), получаем /(Ke, YJ = IiY,, П)а° + /(П, У,)1 =
= I (Y1 ^r bZ, V1 I- eZ)L" і /(ez, EZt = = I (Y1, Y1)1; I- 2е/ (K1, Z)j" !- e2/ (Z, | e2 / (Z, Z)?„ = = -(Yl Y1) - 2e (V [, Z) + e2/ (Z, Z).
Ввиду того что Y1 (a) — Vr1 (t0) = 0, последнее выражение можно упростить:
I(Y,, ^) = -28(^(4,), -7 (to)) jT
-; е-/ (Z, Z) = 2e I KJ (Zo) IP -! ¦ к'2/ (Z, Z).
Из того, что F1' (/о) — (ненулевой) пространственноподобнын касательный вектор, и из ограниченности величины / (Z, Z) вытекает существование некоторого є > 0, такого, что / (Yb, Yi,) > 0. Векторное поле Y = Ye, отвечающее этому значению е, является
искомым. ?
Обратимся теперь к весьма важному описанию якобиевых полей при помощи индексной формы. Это описание то же, что и для римановых пространств, и с такими же доказательствами. Важно заметить, что индексная форма выделяет якобневы поля среди всех кусочно-гладких векторных полей в V,} (с), а не только в классе всевозможных гладких полей в VJ (с).
Предложение 9.13. Пусть с: \а, Ь] —>- M — времениподобный геодезический сегмент. Тогда для Y Q V01 (с) следующие высказывания эквивалентны
(а) У — (гладкое) якобиево поле вдоль с.
(б) / (У, Z) -- 0 для всех Z С V0L (с).
Доказательство. Заметим прежде всего, что (б) непосредственно вытекает из (а) вследствие того, что для гладких векторных полей У и произвольного поля Z индексную форму / можно записать в следующем виде:
I(Y, Z) = ~(Y', Z)|;; j- j "a(Y" \ R(Y, с') c', 7)di.
Если Y — якобиево поле, то IiY, Z) - —(У, Z)\'a. Поэтому / (У, Z) обращается в нуль для любого Z ? VJ- (с).
Чтобы показать, как из (б) следует (а), заметим сначала, что из того, что с — времениподобный геодезический сегмент и У ? Vo (с)> вытекают равенства (У, с') = 0 и (YnjrR (У, с')с', с') = 0, справедливые во всех точках, где У дифференцируемо. Вычисляя левосторонние пределы, получаем также, что (У (tt), с' (ti)) 0 в конечном множестве точек разрыва а = tu < Z1 < < ... < th = b поля У. По непрерывности правосторонние пре- 9.1. Теория Морса для времени подобных геодезических
235
делы Iim (Y' (t), с' (t)) также равны нулю. Следовательно,
векторы Д/. (Y'), определенные в замечании 9.5, удовлетворяют соотношению ^Ai. (У), с' (0)) = 0. Согласно формуле (9.4) замечания 9.5, индексную форму можно вычислить следующим образом:
к
I (У, 2) = У (А/; 0 '), Z Щ Jft0 (У" г R (Y, с') с', Z) dt. (9.10)
Г-о
Пусть <г: j(7, b] -->- 10, 11 — гладкая функция, у которой ф (/„) -• -- ф (/,) ^ ... (р (th) - 0 и Cf (t) > 0 во всех других точках. Тогда векторное поле Z1 -¦ ф (У + R (Y, с') с') лежит в VJ (с) и Zi (0) —- 0 для всех І. Ввиду того что равенство / (К, Z) — 0 предполагается выполненным для всех Z ? V71; (с), из формулы (9.10) получаем
о = / (Л Z1) = j'; Ф (Oil у -г- R (Y, с') с' IP dt.
