Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Более сильная форма полноты, Ь-полнота, обеспечивает геодезическую полноту и, следовательно, преодолевает этот последний недостаток о.у. полноты. Для лоренцевых многообразий Ь-полнота впервые изучалась Шмидтом (1971). Интуитивно 6-пол-нота определяется следующим образом (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 289)). Сначала обобщается понятие аффинного параметра с геодезических на все С^-гладкие кривые. Затем опреде- 5.2. Геодезическая полногНа
137
пространственноподобно геодезически полно, а времениподобно геодезически неполно. В этом примере положительную полуось t можно параметризовать так, чтобы она стала неполной времениподобной геодезической (за счет выбора функции ф (х, О'- ПРИ оо ф (0, t)-*- О как ґ*)
ляется понятие Ь-полноты: назовем пространство-время Ь-полным, если каждая ^-гладкая кривая конечной длины относительно этого параметра имеет концевую точку.
Перейдем теперь к более подробному рассмотрению Ь-полноты. Прежде всего необходимо ввести понятие обобщенного аффинного параметра для произвольной Сг-гладкой кривой у: J -*¦ M. Напомним, что гладкое векторное поле V вдоль у представляет собой гладкое отображение V: J -*¦ TM, такое, что V (i) ? Tv^yM для всех t ? J. Гладкое векторное поле V называется параллельным вдоль у, если V удовлетворяет дифференциальному уравнению VvV (0 = О для всех t G J (см. добавление А).
Обобщенный аффинный параметр ц = ц (у, E1, ..., En) для кривой у: J -*¦ M можно построить следующим образом. Выбрав t0 G J произвольно, рассмотрим какой-нибудь базис \elt ..., еп\ касательного пространства Ty ^0) М. Пусть Ei — однозначно определенное векторное поле, параллельное вдоль у и такое, что Et (t0)=e(, 1 < / < п. Тогда набор [E1 (t), ...,En (0} образуетбазис 138
Гл. 5. Полнота и расширении
пространства Tv щ M для любого t ? /. Поэтому возможно разложение 7' (t) = 2j"=i У1 (t) Ei (0> гДе Vі: J R для 1 < і < п. Обобщенный аффинный параметр ji = р. (7, E1, ..., En) задается следующей формулой:
Предположение о Сг-гладкости кривой 7 необходимо для того, чтобы получить векторные поля [E1, ..., Еп\ путем параллельного переноса. Можно убедиться непосредственно, что 7 имеет конечную длину дуги относительно обобщенного аффинного параметра р = р (7, E1, ..., En) в том и только том случае, когда 7 имеет конечную длину дуги относительно любого другого обобщенного аффинного параметра р = р (7, E1, ..., En), который вычислен относительно базиса \Еі\1= 1 на TM |7, также полученного параллельным переносом вдоль 7 (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 288)). Отсюда следует, что понятие конечной длины дуги по отношению к обобщенному аффинному параметру не зависит от выбора этого параметра. Поэтому корректно следующее определение.
Определение 5.8. Пространство-время (М, g) называется Ь-полным, если каждая ^-гладкая кривая конечной длины, измеренной посредством обобщенного аффинного параметра, имеет в M концевую точку.
Пусть у: J -> M — произвольная гладкая геодезическая. Взяв в предложенной выше конструкции E1 (t) = 7' (t), при любом выборе E2, ..., En имеем р (7, E1 E2 ,..., En)(t) = t. Следовательно, Ь-полнота влечет за собой геодезическую полноту. Кроме того, из Ь-полноты вытекает о.у. полнота. Пример Герока (см. рис. 5.2) с измененным знаком метрического тензора показывает, что существуют глобально гиперболические лоренцевы многообразия, которые являются о.у. полными, а b-неполны. Поэтому из о.у. полноты Ь-полнота не следует.
5.3. Метрическая полнота
Теорема Хопфа—Ринова для римановых многообразий (N, g0) утверждает, что следующие высказывания равносильны:
(1) Многообразие N с римановой функцией расстояния do'. N X N -V [0, оо) является полным метрическим пространством, т. е. все последовательности Коши сходятся.
(2) (N, go) конечно компактно, т. е. все do-ограниченные множества имеют компактное замыкание.
(3) (N, go) геодезически полно.
и (9 =
[F1(S)]2 ofs, t?j. 5.3. Метрическая полно/На
139
Множество К в рнмановом многообразии (N, g0) называется (10-ограниченным, если sup {d0 (р, q): р, q ? К\ < оо. Из неравенства треугольника вытекает, что последнее эквивалентно следующему условию: множество К содержится внутри замкнутого шара конечного радиуса.
В разд. 5.2 мы рассмотрели геодезическую полноту лоренцевых многообразий. В этом разделе мы будем рассматривать лоренцевы аналоги сформулированных выше условий (1) и (2). Непосредственно из определения лоренцева расстояния (т. е. d (р, q) -— 0, если q ф J+ (р) видно, что следует ограничиться рассмотрением только времениподобных последовательностей J Коши.
Буземан (1967) изучал общие хаусдорфовы пространства, на которых вводилась частичная упорядоченность; причем свойства этой частичной упорядоченности весьма похожи на свойства хронологической частичной упорядоченности p^q пространства-времени. Буземан предполагал также, что рассматриваемые им пространства (он называл их времениподобными пространствами) сснащены функцией, которая ведет себя в точности так же, как лоренцева функция расстояния хронологического пространства-времени, ограниченная на множество \(р, q) ^z M X М: р q\. Он заметил, что для этого класса недиффеРенЦиРУемЬ1Х ПР°~ странств можно определить длину непрерывных кривых, и, более того, функционал длины оказывается полунепрерывным сверху в топологии равномерной сходимости (см. Буземан (1967, с. 10)). При изучении этого класса пространств целью Буземана было развитие геометрической теории для индефинитных метрик, аналогичной теории метрических G-пространств (см. Буземан (1962)). В частности, он изучал конечную компактность и метрическую полноту времениподобных пространств в духе условий (1) и (2) теоремы Хопфа—Ринова.
