Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
M
M'
Рис. 5.7. Пространство-время Минковского имеет аналитические локальные расширения. Пусть на M=R" задана стандартная метрика Минковского g, и пусть Tnесть (п — 1)-мерный тор с обычной положительно определенной плоской метрикой h. Пусть далее на M' =RX Tnзадана лоренцева метрика произведения g' = —Л2 © h. Тогда (M, g) является универсальным накрывающим пространством многообразия (M', g') и естественная проекция /: M M' локально изометрична. Выберем в качестве U открытое множество в М, содержащее
Y (s) = (s-P, s.....0), 7: [1, 00) M
и такое, что отображение f\U взаимно-однозначно и / (U) имеет компактное замыкание в M'. Тогда f\U: (U, g| U)-*- (M', g') — аналитическое локальное расширение пространства Минковского. Но это — расширение не через точки дсМ и не через точки д^М.
метим, что если Y1: [0, a) -+-U — произвольная кривая с некомпактным замыканием в М, то /°Y1 не может быть продолжено в t = а в M'.
5.6. Сингулярности кривизны
Пусть дМ — идеальная граница многообразия M (т. е. либо дьМ, либо дсМ). Точка q G дМ называется регулярной граничной точкой многообразия М, если существует глобальное расширение (M', g') многообразия (М, g), такое, что q можно естественно отождествить с точкой из M'. Тем самым регулярная граничная точка может рассматриваться как устранимая сингулярность М.
Пусть y: [0, а) -*- M — непродолжаемая кривая, такая, что 5.6. Сингулярности кривизны
151
точка у (а) соответствует идеальной точке М. Говорят, что кривая у определяет сингулярность кривизны (см. Эллис и Шмидт (1977, с. 916)), если некоторая компонента Rabcd h^ является непрерывной на [0, а\ при параллельном переносе ортонорми-рованного базиса ех, ..., eh вдоль у. Сингулярность кривизны является препятствием к локальному Ь-граничному расширению кривой у, так как если локальное Ь-граничное расширение у существует, то тензор кривизны и все его производные, вычисляемые относительно ортонормированного базиса, параллельно переносимого вдоль у, должны быть непрерывны и, следовательно, при t-^аГ должны сходитьсй к определенным пределам.
Почти регулярной сингулярностью называется Ь-граничная точка q ? дьМ, которая не является ни регулярной граничной точкой, ни сингулярностью кривизны. Кларке (1973, с. 208) доказал, что если у. [0, а) M — непродолжаемая Ь-неполная кривая, соответствующая почти регулярной сингулярности, то существует ее локальное Ь-граничное расширение. Это утверждение показывает, что сингулярности кривизны представляют собой единственное реальное препятствие для локальных Ь-гра-ничных расширений.
В общем случае может оказаться весьма затруднительным ответить на вопрос: имеет ли данное пространство-время локальные расширения какого-либо вида? Однако для аналитических fr-граничных расширений аналитических пространственно-временных многообразий положение несколько проще (см. теорему 5.23).
Для доказательства теоремы 5.23 полезно убедиться в справедливости следующего утверждения о вещественных аналитических пространственно-временных многообразиях и локальных изометриях. Напомним, что локальная изометрия F: M M' — это такое отображение, для которого у каждой точки р ? M найдется открытая окрестность U (р), на которой F является изометрией. Тем самым локальные изометрии являются локальными, но не обязательно глобальными диффеоморфизмами.
Предложение 5.22. Пусть (M1, gx) и (М, g)—вещественные аналитические лоренцевы многообразия одинаковой размерности и F: M M1 — вещественное аналитическое отображение. Если M содержит открытое множество U, для которого F \ U: U M1 — изометрия, то F — локальная изометрия.
Доказательство. По теореме об обратной функции множество W = \т в М: F^v Ф 0 для всех v Ф 0 в ТтМ\ является открытым подмножеством М. Вследствие того что F\U — изометрия, U содержится в W-. Зафиксируем произвольную точку р ? U и обозначим через V линейно связную компоненту W, которая ее содержит. Справедливость сформулированного утверждения 152
Гл. 5. Полнота и расширении
будем доказывать следующим образом: сначала покажем, что FIV — локальная изометрия, а затем, что V = M.
Пусть q — произвольная точка V. Возьмем кривую у: [О, 1 ] -+¦ V так, чтобы у (0) = р и у (1) = q. Пользуясь компактностью у [0, 1 ], покроем его конечной цепочкой координатных карт (U1, Cp1), ..., (Uh, ф^), таких, что каждое множество Ui односвязно, F\U{\ Ut -+-M1 — аналитический диффеоморфизм, р G U1 с= U П V, q t Uh и Ui f] ^г+i Ф 0 для каждого і, удовлетворяющего условию 1 < і < k — 1. Так как U1 cz U П V, то на U1 g = (F\ U1)* gl. Поэтому g = (F\ U1)* gl на U1 П U2. Из того, что U1 П U2 — открытое подмножество U2, a F — вещественно аналитический диффеоморфизм U2 на его образ, вытекает, что g = (F\U2)* gx на U2. Рассуждая по индукции, получим, что g = (F| Uh) * на Uh, откуда следует, что F является изометрией в открытой окрестности Uh точки q. Тем самым Fj У: V -+- M1 — локальная изометрия.
Остается показать, что V = M. Предположим, что V ф М, и выберем в M \ V произвольную точку г. Пусть 7: [0,1] —Al — гладкая кривая, у которой у (0) = р и 7 (1) = г. Существует наименьшее t0 ? [0, 1 ], для которого г ='у (t0) ? M \ V. Тогда ограничение F на окрестность V кривой 7г [0, /0) является локальной изометрией. Чтобы получить требуемое противоречие, достаточно показать, что г G V. Из того, что г G M \ V, вытекает существование в TrM касательного вектора х Ф 0, для которого Ftx = 0. Пусть X — однозначно определенное векторное поле, параллельное вдоль у и такое, что X (t0) — х. Так- как в окрестности кривой 7: [0, -+-M отображение F является локальной изометрией, то поле Ft°X параллельно вдоль F°7: [0, t0) -+¦ M1. В силу гладкости F имеем FjfX = FtX (t0) = = Iim FitX (t). Из того, что F* °Х — параллельное векторное поле
