Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Бим (19766) заметил, что буземановские определения конечной компактности и метрической полноты для времениподобных G-пространств можно приспособить и к причинным лоренцевым многообразиям. Начнем с определения понятия времениподобной полноты Коши для причинного пространства-времени.
Определение 5.9. Причинное пространство-время (М, g) называется времениподобно Коши-полным, если всякая последовательность {л;п| точек, подчиненных условиям хп < хп+т для п, т = 1, 2, ... и d (хп, хп+т) < Bn (или же хп+т < хп и d (хп+т, хп) < Bn) для всех т ^ 0, где Bn -*¦ 0 при n -v оо, сходится.
Для римановых многообразий конечную компактность можно определить, например, требованием, что все замкнутые метрические шары компактны. С другой стороны, как мы заметили 140
Гл. 5. Полнота и расширении
при п -*¦ оо, но точек накопления {хп} не имеет, как и показано на рисунке.
выше (см. рис. 3.4), подмножества \q ? J+ (р): d (р, q) < є} произвольного пространства-времени некомпактны. Поэтому риманово определение должно быть видоизменено. Одна из возможностей состоит в следующем (см. Буземан (1967, с. 22)).
Определение 5.10. Причинное пространство-время (М., g) называется конечно компактным, если для любой фиксированной постоянной В > 0 и всякой последовательности точек удовлетворяющих для всех п либо условиям P q < Xn и d (р, хп) с В, либо условиям хп < q «С P и d (хп, р) < В, в М. существует точка накопления для {лгп}-
Нетрудно заметить, что без требования хп с q <С р (или р < q <: хп) для некоторого q ? M в определении 5.10 простран-ство-время Минковского не может быть конечно компактным (см. рис. 5.3).
Для глобально гиперболических пространств можно привести описание конечной компактности, в большей степени напоминающее условие (2), сформулированное выше для римановых многообразий.
Лемма 5.11. Пусть пространство-время (M, g) глобально гиперболично. Тогда (М., g) является конечно компактным в том и только том случае, когда для любой постоянной ?|> 0 множество \х ? М: р С q с х, d (р, х) с В\ компактно для всех 5.4. Идеальные границы
14І
p,q (z M., связанных отношением q f I+ (р), а множество \х f М: X < q <С. р, d (х, р) < В\ компактно для всех р, q ? М, связанных отношением р ? I+ (q).
Доказательство. Утверждение легко следует из того, что множества J+ (q) замкнуты и лоренцева" .функция расстояния вследствие глобальной гиперболичности (М, g) непрерывна. ?
Пространство-время Минковского одновременно и времениподобно коши-полно, и конечно компактно. Более того, можно показать, что эти понятия равносильны для^всех глобально гиперболических пространственно-временных многообразий (см. Vу Бим (19766, с. 343—344)).
Теорема 5.12. Пусть {М, g) —глобально гиперболическое пространство-время. Тогда (М, g) является конечно компактным в том и только том случае, когда оно времениподобно коши-полно. Если же (М, g) глобально гиперболично и непространственно-подобно геодезически полно, то (М, g) конечно компактно и времениподобно коши-полно.
Замечание 5.13. Даже для класса глобально гиперболических пространственно-временных многообразий конечная компактность, или, что равносильно, времениподобная коши-полнота, не означает наличия времениподобной геодезической полноты. > В самом деле, приведенный на рис. 5.2 пример Герока представляет собой времениподобно геодезически неполное глобально гиперболическое пространство-время, которое конечно компактно.
5.4. Идеальные границы
В этом разделе мы приведем краткое описание свойств Ь-границы и причинной границы пространства-времени. Дополнительные сведения и детали можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, разд. 6.8 и 8.3) или у Додсона (1978).
Будем обозначать b-границу пространства-времени (М, g) через дьМ. Эта граница строится следующим образом: сначала на расслоении линейных структур L (M) над M определяется некоторая положительно определенная метрика, затем строится замыкание Коши L (M) и далее построенные идеальные точки L (M) используются для получения идеальных точек многообразия М. Особенно полезной Ь-граница оказывается при выяснении ответа на вопрос: выброшены или нет конкретные точки из исследуемого пространства-времени. Несколько жаль, что Ь-граница часто состоит из одной-единственной точки (см. Боссхард (1976), Джонсон (1977)). Эта граница неинвариантна относительно конформных преобразований и, кроме того, не столь тесно связана с причинной структурой (М, g). Сравнительно недавнее обсуждение достоинств І 42
Гл. 6. Полнота и расширения
и недостатков Ь-границы и геодезической неполноты можно найти в обзорной статье Типлера, Кларке и Эллиса (1980).
Напомним, что кривая у: [0, а) —> M называется Ь-неполной, если у нее есть конечный обобщенный аффинный параметр (см. разд. 5.2). Всякая кривая у: [0, а) —» М, которая одновременно является и Ь-неполной, и кепродолжаемой в t = а, определяет точку границы дьМ, соответствующую у (а). В пространстве-времени Минковского значения обобщенного аффинного параметра вдоль кривой можно сделать такими, чтобы они соответствовали евклидовой длине дуги. Поэтому пространство-время Минковского имеет пустую Ь-границу, и каждая Ь-неполная кривая в пространстве времени Минковского имеет в этом пространстве-времени концевую точку.
