Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
145
Обозначим через M (соответственно М) объединение всех
НП (соответственно НБ). Пусть далее М# = M U М/~, где
для каждой точки р Є M элементы Г (р) из M и /+ (р) из M отождествляются. Отображение I+: M М#, задаваемое правилом р I+ (р), отождествляет M с подмножеством М#. Используя это отождествление, мы можем утверждать, что множество М# соответствует точкам M вместе со всеми ГНП и ГНБ.
Чтобы задать на М# топологию, определим сначала для произвольного НБ А ? M два множества Ліпі и Лех4:
Лint = {V <= М: V П А ф 0\
и
= {V 6 м-. V = Г (W) влечет I+ (W) ф А\.
л
Аналогично для произвольного НП B^M определяются множества Bint и~Вехі. Подбазис топологии на М* задается всевозможными множествами вида Ліпі, Лехі, ?int и Bext. Множества и ?int являются аналогами множеств I+ (р) и Г (р) соответственно, а множества Aext и ?ext — аналогами множеств M \ I* (р) и M \ Г (р) соответственно.
Множество М* = M U дсМ получается из М#, наделенного построенной выше топологией, путем отождествления наименьшего числа точек в"М#, необходимых для получения хаус-дорфова пространства. Другими словами, М* есть факторпро-странство M#/Rh, где Rh—пересечение всех отношений эквивалентности R на М#, для которых M*IR хаусдорфово. Топологическое пространство М* содержит подмножество, которое можно отождествить с M при помощи отображения I+: M ->М*, описанного выше. При этом отождествлении исходная топология многообразия M согласуется с относительной топологией, индуцированной на I+ (M) как подмножестве М*. Выбрасывая подмножество I+ (M) из пространства M*, получим причинную границу дсМ. Эта граница состоит из ГНП и ГНБ, где отождествления проведены так, как указано выше. Наконец, отождествляя M с подмножеством I+ (M) пространства M*, получаем требуемое разложение М* = MU дсМ.
5.5. Локальные расширения
В этом разделе определяются расширяемость и нерасширяемость лоренцевых многообразий. Кроме того, здесь рассматриваются два типа локальных расширений. Большинство результатов этого раздела справедливо как для пространственно-вре- 146
Гл. 5. Полнота и расширении
менных многообразий, так и для тех лоренцевых многообразий, которые неориентируемы во времени.
Определение 5.15. Расширением лоренцева многообразия (М, g) называется лоренцево многообразие (M', g') вместе с изо-метрией /: М. -у M', отображающей М. на собственное открытое подмножество из Nl'. Аналитическое расширение (М., g) — это такое расширение /: (М, g) (M', g'), что оба лоренцевы многообразия аналитичны и отображение /: М. Nl' аналитично. Если (М, g) не имеет расширений, то оно называется нерасширяемым.
Предположим, что лоренцево многообразие (М., g) имеет расширение /: (М, g) -+(M', g'). Из того, что M' связно, a / (M) открыто в M', вытекает, что Bd (/ (M)) = / (M) \ / (M) Ф 0, где / (M) — замыкание / (M) в M'. Так как Bd (/ (M)) Ф 0, а изометрия /: M M' переводит геодезические из M в геодезические из M', лежащие в / (M), то, как легко видеть, (М, g) не может быть ни времениподобно, ни изотропно, ни простран-ственноподобно геодезически полным. Вспоминая, что и Ь-полнота и о.у. полнота влекут за собой геодезическую полноту (см. разд. 5.2), получаем следующий критерий того, что лоренцево многообразие нерасширяемо.
Предложение 5.16. Лоренцево многообразие (М, g) нерасширяемо, если оно является полным, хотя бы в одной из следующих форм:
(1) Ь-ПОЛНЫМ)
(2) полным о.у.;
(3) времениподобно геодезически полным;
(4) изотропно геодезически полным;
(5) пространственноподобно геодезически полным.
Определим теперь два вида локальных расширений (см. Кларке
(1973, с. 207), Бим (1980), Хокинг и Эллис (1977, с. 71)).
Определение 5.17. Пусть (М, g) — лоренцево многообразие.
(1) Предположим, что у: [0, a) -+M есть Ь-неполная кривая, непродолжаемая в t = а в М. Локальным b-граничным расширением кривой у называется открытая окрестность U сг M кривой у и расширение (U', g') многообразия (U, g| U), такое, что образ у в U' является непрерывно продолжаемым за t = а.
(2) Локальным расширением многообразия (М, g) называется связное открытое подмножество U из М, имеющее в M некомпактное замыкание, и расширение (U', g') пары (U, g| U), такое, что образ U имеет компактное замыкание в U'.
Замечание 5.18. Это определение локального расширения отличается от соответствующего определения локального расшире- 5.5. Локальные расширения
147
ния у Хокинга и Эллиса (1977, с. 71) тем, что в определении 5.17 (1) требуется, чтобы U было связным (у Хокинга и Эллиса этого не требуется) (рис. 5.5 и 5.6).
Теперь мы исследуем взаимосвязь между этими двумя видами локальных расширений. Произвольное пространство-время может содержать Ь-неполную кривую у: [0, а) М, которая непродолжаема в t = а, хотя у [0, а) и имеет компактное замыкание в М. Однако Шмидт показал, что такие пространства содержат компактно захваченные непродолжаемые изотропные геодезические (см. Шмидт (1973), Хокинг и Эллис (1977, с. 312)). С другой стороны, если (М, g) не содержит захваченных непространственноподобных кривых и кривая у имеет в (М, g) локальное Ь-граничное расширение, то, как мы сейчас покажем, то же самое расширение дает и локальное расширение.
