Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Причинную границу пространства-времени (М, g) будем обозначать через d.M. Эта граница строится при помощи причинной структуры пространства-времени. Поэтому она инвариантна относительно конформных преобразований. Нас будет интересовать использование этой границы только для сильно причинных пространственно-временных многообразий.
Причинная граница образуется при помощи неразложимых в прошлом (соответственно в будущем) множеств, которые не соответствуют прошлому (соответственно будущему) никакой точки из М. Множество прошлого (соответственно будущего) есть такое подмножество А многообразия М, для которого Г (Л) с: А (соответственно I+ (Л) с: А). Открытые множества прошлого (соответственно будущего) описываются равенствами Г (Л) = А (соответственно I+ (Л) = Л). Неразложимым множеством прошлого (сокращенно НП) называется всякое открытое множество прошлого, которое нельзя представить в виде объединения двух собственных подмножеств, каждое из которых было бы открытым множеством прошлого. Аналогично определяется неразложимое множество будущего (сокращенно НБ).
Граничным неразложимым множеством прошлого (ГНП) называется подмножество Л многообразия М, такое, что
(1) Л — неразложимое множество прошлого;
(2) Л не является хронологическим прошлым никакой точки р ? М.
Аналогично определяется граничное неразложимое множество будущего (ГНБ). Причинная граница дсМ образуется при помощи множеств ГНП и ГНБ путем некоторых отождествлений, которые будут описаны ниже (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 241—245)). Эти отождествления позволяют продолжить топологию M на М* = MU дсМ таким образом, что причинное замыкание многообразия M будет хаусдорфовым. 5.4. Идеальные границы
143
Рис. 5.4. Идеальная точка р из дсМ. представляется граничным неразложимым множеством прошлого (ГНП) А, а идеальная точка q— граничным неразложимым множеством будущего (ГНБ) В. Точка г представляется одновременно и множеством С, которое является ГНП, и множеством D, которое является ГНБ.
Назначение ГНП и ГНБ состоит в том, чтобы представлять идеальные точки причинной границы многообразия (Ni, g), как показано на рис. 5.4.
Покажем теперь, что ГНП можно представить как хронологическое прошлое непродолжаемой в будущее времениподобной кривой. Этот результат принадлежит Героку, Кронхеймеру и Пенроузу (1972, с. 551).
Предложение 5.14. Подмножество W сильно причинного про-странства-времени (М, g) является ГНП в том и только том случае, когда существует направленная в будущее и непродол жаемая в будущее времениподобная кривая у, для которой W = = Г (7).
Доказательство. Предположим сначала, что существует не-продолжаемая в будущее времениподобная кривая у, для которой W = Г (7). Из сильной причинности многообразия (М., g) вытекает, что если W есть НП, то W есть ГНП. Чтобы показать, что W является НП, предположим, что W=U1 U U2 для непустых открытых множеств прошлого U1 и U2, ни одно из которых не лежит в другом. Возьмем точки t1 g Ul \ U2 И r2 ^ U2\ U1. Тогда в силу равенства Г (у) = U1 U U2 должны существовать точки r'i G У, такие, что rt ? Г (п) для і = 1,2. Однако независимо от того, какое из множеств Ui содержит наиболее отнесенную в будущее точку т'\ или г'ч, оно должно содержать все 144
Гл. 5. Полнота и расширении
четыре точки г1; г2, г[ и Гг. Это противоречит определению либо точки г у, либо точки г2.
Обратно, допустим, что W является ГНП. Если р — произвольная точка W, то W = [Wf] I+ (р)] U [№\/+(/>)] и, значит, W = Г (W П I+ (р)) U Г (W \ I+ (р)) з силу того, что W — множество прошлого. Так как W — НП, то либо W = = Г (W П I+ (р)), либо W = Г (W \ I+ (р)). Следовательно, если P Г (W n I+ (J))), то W = Г (W\ I+ (р)). Таким образом, для любой пары точек р и q из W, р Ф q, в этом множестве должна найтись некоторая точка г, которая будет лежать в хронологическом будущем обеих точек р и q. Рассуждая по индукции, получаем, что для любого конечного подмножества из W в W можно указать некоторую точку, которая расположена в хронологическом будущем каждой точки этого подмножества. Выберем теперь последовательность точек рп, образующую счетное всюду плотное подмножество W. Вторую последовательность qn определим индуктивно. Пусть точка q0 ? W находится в хронологическом будущем точки р0. Если qi определены для всех і = \, ..., k — 1, то точку qh в W выбираем так, чтобы она располагалась в хронологическом будущем и точки ph, и точек qit і = 1, ..., k — 1.
Наконец, пусть у — произвольная направленная в будущее времениподобная кривая, которая начинается в q0 и последовательно соединяет точки qt. Ясно, что каждая точка рп лежит в I' (у) и что Г (у) с: W. Из того, что W открыто, а последовательность \рп\ расположена в W всюду плотно, вытекает, что W = I~ (у), как и требовалось. П
В пространственно-временных многообразиях, которые не являются сильно причинными, могут существовать направленные в будущее и непродолжаемые в будущее времениподобные кривые у, такие, что Г (у) является хронологическим прошлым некоторой точки (т. е. Г (у) не ГНП). Рассмотрим, например, цилиндр R1 X S1 с плоской метрикой ds2 = dtdQ и обычной ориентацией во времени, для которой будущее соответствует возрастанию t. Нижняя половина цилиндра W = {(?, 8): t •< 0} является НП, которое можно представить как Г (y) для направленной в будущее и непродолжаемой в будущее времениподобной кривой у-Однако W не является ГНП вследствие того, что W можно представить как хронологическое прошлое любой точки окружности t = 0. Ограничивая наше внимание сильно причинными пространствами, мы избежим примеров такой природы. Для сильно причинных пространств НП, не являющиеся ГНП, находятся во взаимно однозначном соответствии с точками из M.. Аналогичное утверждение справедливо и для НБ, не являющихся ГНБ. 5.5. Локальные расширения
