Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 5.19. Если пространство-время (M, g) не содержит захваченных непространственноподобных кривых и в (М, g) существует локальное b-граничное расширение кривой у, то (М, g) имеет локальное расширение.
Доказательство. Пусть /: (U, g| U) (U', g')—локальное Ь-граничное расширение кривой у. Тогда f°y: [0, a) [/' продолжаема и /°y (t) сходится к некоторой точке р ? U' при t а. Пусть W' — открытая окрестность точки р с компактным замыканием в U'. Выберем t0 G [0. а) так, чтобы f°y (t) (г W' для всех t0 < t <; а. Пусть V— компонента множества V1 = f'1 (W') в U, которая содержит некомпактное множество у | а). Ввиду того что U открыто в М, множество V является связным открытым множеством, имеющим в M некомпактное замыкание. Его образ / (V) в силу включения / (V) с: W' имеет в U' компактное замыкание. Тем самым / | V: (V, g \ V) (U', g') — локальное расширение (М, g). П
Покажем теперь, что каждый из этих двух видов локальной нерасширяемости влечет за собой нерасширяемость глобальную.
Предложение 5.20« Если лоренцево многообразие (М, g) не имеет локального расширения хотя бы одного из указанных в определении 5.17 видов, то (М, g) нерасширяемо.
Доказательство. Предположим, что (М, g) имеет расширение F: (М, g) -э- (M', g'). Пусть р ? Bd (F (M)). Возьмем геодезическую а: [0, 1 ] (M', g') так, чтобы а (0) ? F (M) и о (1) = р. Вследствие того что F (M) открыто в M' и р <? F (M), найдется некоторое t0 G (0, 1), такое, что a (t) ? F (M) для всех t, 0 < с t < t0, но a (t0) ф F (M). Тогда кривая у = F'1" а | [0, /0): [0, ^0) M Ь-неполна, непродолжаема в t = t0 в M и имеет в M некомпактное замыкание. Полагая U = M, U' = M' и / = 152
Гл. 5. Полнота и расширении
Рис. 5.5. Пусть у: [0, а) —>- M есть o-неполная кривая, пепродолжаемая в t — а в пространстве-времени (М, g). Допустим, что существует изометрия /: ((/, g| U) ->- ({/', g'), которая переводит у в кривую f ° у, имеющую концевую течку р в U'. Тогда у может быть непрерывно продолжена за t = а. Таким образом, в (М, g) существует локальное й-граничное расширение кривой у.
U'
Рис. 5.6. Пусть U — связное открытое подмножество многообразия М, имеющее
в M некомпактное замыкание. Локальное расширение — это изометрия /: (U, g| f/) (f/', g'), такая, что / (U) имеет в U' компактное замыкание. Пример пространства-времени Минковского показывает, что даже вещественное аналитическое й-полное пространство-время может допускать аналитические локальные расширения (см. пример 5.21). Таким образом, пространство-время может допускать локальные расширения, но не иметь локальных й-граничных расширений. 5.5. Локальные расширения
153
= F (см. определение 5.17 (1)), получаем, что в (ЛЇ, g) существует локальное Ь-граничное расширение кривой у. Выбирая в качестве W любое открытое множество, содержащее р и имеющее в M' компактное замыкание, полагая U' = M' и выбирая в качестве U компоненту множества F'1 (W), содержащую у, получим локальное расширение F\U: (U, g| U)-+-(M', g'). П
Следующий пример показывает, что пространство-время Минковского имеет локальные расширения. Ввиду того что пространство-время Минковского Ь-полно, этот пример показывает, что, хотя 5-полнота и является препятствием к глобальным расширениям, она не создает помех расширениям локальным (см. предложение 5.16). Необычность этого примера состоит в том, что он не соответствует локальному расширению M ни через точку Ь-границы дьМ, ни через точку причинной границы дсМ. Он представляет собой локальное расширение множества к i° (см. рис. 4.4).
Пример 5.21. Пусть (М = R", g) есть n-мерное пространство-время Минковского, a M' = R X Тп~\ где Tn~l = |(02, ... ..., 9П): 0 < 0г < Ii — (п — 1)-мерныйтор (здесь используются стандартные отождествления). Лоренцеву метрику g' для M' можно определить следующим образом: g' = (ds )2 = —dt2 + dQl + ••• ... + d%. Тогда (М, g) представляет собой лоренцево универсальное накрывающее пространство многообразия (M', g') с накрывающим отображением /: (М, g) -+-(M', g'), задаваемым по правилу
/ (хъ ..., хп) = (хъ X2 (mod 1), ..., хп (mod 1)).
Зафиксируем ? >0 и рассмотрим кривую у: [0, оо) М, определяемую посредством соотношения у (s) = (S-P, s, 0, ..., 0). Тогда f°y: [1, оо) -+-M' представляет собой спираль, асимптотически приближающуюся к окружности t = B3 = ... = 0„ = 0 в M'. Пусть U — открытая трубчатая окрестность кривой у в M такая, что U содержится в открытом множестве \(хъ ... ... хп) ? R": 0 < X1 < а}, где а > 1 фиксировано, a / | U: U -+- M' является гомеоморфизмом U на ее образ (рис. 5.7). Интуитивно ясно, что для того, чтобы удовлетворить требованию для
(хъ ..., хп) ? U, множество U должно быть выбрано так, чтобы оно становилось тоньше, когда s -+-оо. Хотя U и не обладает компактным замыканием в пространстве-времени Минковского, его образ / (U) имеет в M' компактное замыкание вследствие того, что f (U) содержится в компактном множестве [0, а] X X TnТаким образом, /: (U, g| U) -+-(M', g') — аналитическое локальное расширение пространства-времени Минковского. За- 154 Гл. 5. Полнота и расширении
