Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
'-'її
для всех t, подчиненных условию 0 < t < t0, получаем, что Iim FjfX (t) ф0. Отсюда следует, что FtX Ф 0. Таким образом, F
несингулярно в точке г. Отсюда вытекает, что г G Vr, и требуемое противоречие получено. ?
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы обратиться к доказательству теоремы 5.23 о локальных Ь-граничных расширениях вещественно аналитического пространства-времени.
Теорема 5.23. Пусть (М, g) — аналитическое пространство-время без захваченных непространственноподобных кривых, в котором кривая у: Г0, а) M имеет аналитическое локальное b-граничное расширение. Тогда существуют времениподобные, изотропные и пространственноподобные геодезические с конечным аффинным параметром, которые являются непродолжаемыми5.6. Сингулярности кривизны
153
в одном из направлений и не соответствуют сингулярностям кривизны.
Доказательство теоремы 5.23 опирается на две леммы.
Лемма 5.24. Пусть (М, g) — аналитическое пространство-время без захваченных непространственноподобных кривых, в котором у: [0, а) -у M имеет аналитическое локальное Ъ-гранич-ное расширение. Тогда (M, g) содержит неполную геодезическую.
Доказательство. Пусть /: (U, g|f/)->(f/', g') — аналитическое расширение у. Можно предполагать, что U содержит образ у. Кроме того, у продолжаемо в U'. Поэтому У (0 P с U' при t ->¦ а~. Обозначим через W' окрестность точки р, являющуюся выпуклой нормальной окрестностью каждой своей точки. Тогда exp;1: W' -> TxU'—диффеоморфизм для каждой фиксированной точки х ? W. Пусть t0 выбрано так, что f°y (i) G W' для всех t, t0 < t < а. Положим q = у (t0) и г = / (q). Тогда отображение H = ехр9 -/"^«exp;1: W^-M определено вблизи г и аналитично. Это отображение H переводит геодезические, начинающиеся в г, в геодезические, исходящие из q, и сохраняет длины вдоль этих геодезических. В действительности H совпадает с /-1 вблизи г. Отображение H не обязательно взаимно однозначно вследствие того, что таковым свойством обладает ехр?. Поскольку область определения ехр9 представляет собой объединение прямолинейных отрезков, начинающихся в начальной точке пространства T4M, то область определения V' отображения H должна быть некоторым подмножеством из W', представляющим собой объединение геодезических сегментов, исходящих из г. Отсюда следует, что множество V" не может совпадать со всем W' только в том случае, если ехр?: TqM -*¦ M определено на собственном подмножестве пространства TqM, не включающем в себя всех точек из образа /^-exp^1 (W). Поэтому, если показать, что V' ф W, то из этого неравенства можно заключить, что найдется некоторая неполная непродол-жаемая геодезическая, исходящая из q. Но аналитические отображения H и f-1 должны совпадать на компоненте множества f (U) П Vr', содержащей точку г. Это означает, что Уф W. С другой стороны, если H и /_1 совпадают на множестве f (U) П W, то они совпадают и в окрестности множества f«y [t0, а). Это приводит к тому, что H°f°y — y для всех t0 < t < а, и означает, что у продолжаема в M через точку H (р). И мы приходим к противоречию. ?
В ^следующей лемме мы будем пользоваться теми же условиями и обозначениями.154
Гл. 5. Полнота и расширении
концевая точка / » у в U'. На этом рисунке / (q) = г и все точки / ° у, расположенные между г и р, находятся в хронологическом будущем х.
Лемма 5.25. Отображение H: V' ~> M является локальной изометрией.
Доказательство. Пространство-время (М, g), пара (U', g') и отображение H аналитичны. Более того, H совпадает с изометрией вблизи г и определено на линейно связном множестве V'. Поэтому из предложения 5.22 вытекает, что H — локальная изометрия. ?
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы завершить
Доказательство теоремы 5.23. Необходимо рассмотреть три случая, соответствующих неполным времениподобным, изотропным и пространственноподобным геодезическим. Мы ограничимся доказательством только времениподобного случая, сохранив обозначения лемм 5.24 и 5.25. Без потери общности можно предполагать, что существует некоторая точка х ? W', для которой в хронологическом упорядочении на W' имеем X р и л: С С 7 (0 Для всех t, t0 < t < а (рис. 5.8).
Пусть X ф V'. Обозначим через а геодезический сегмент в W' из г в х. Отображение H переводит a f) V в непродолжа-емую неполную времениподобную геодезическую, исходящую из q, а лемма 5.25 показывает, что эта геодезическая не соответствует сингулярности кривизны.
Пусть л; і; V'. Положим у = H (х) и рассмотрим H' =BXp^0 °HWx оехр;1: W'М. Отображение H' определено на некотором подмножестве V" из W' и является локальной изометрией по тем же самым причинам, по которым локально изометрично Я;5.6. Сингулярности кривизны
155
кроме того, H' вблизи г совпадает и с Я, и с /-1. Множество V" не может содержать всех точек из множества f°y, где t0 < t < а, вследствие того что это вносило бы концевую точку H' (р) кривой у в М. Используя отношение x<^f«y(t), справедливое для всех t, подчиненных условию t0 < t < а, мы заключаем', что существует непродолжаемая неполная времениподобная геодезическая, исходящая из у в М, которая не соответствует сингулярности кривизны. ?