Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Мы дадим набросок доказательства этого результата, предложенного Зейфертом (1967, теорема 1) (см. также Пенроуз (1972, гл. 6)). Вследствие того что (M, g) глобально гиперболично, можно показать, что для любой пары точек р, q М, связанных отношением р < q, пространство непространственноподобных путей Qj,, q компактно. С другой стороны, в силу строгой причинности [М, g) функционал длины дуги L: QPj(J->IR полунепрерывен сверху в C0-топологии (см. разд. 2.3). Поэтому найдется кривая y0 ^ йр,<?. длина которой L (y„) = sup \L (7): у ? Qp>„}. Методами вариационного исчисления нетрудно показать, что если y0 не является перепараметризованной гладкой геодезической, то можно построить кривую о (: Qlhq большей длины L (а) > > L (y), что противоречит максимальности Yo- В свою очередь, если L (Yo) = sup \L (y): Y G йр,<7і> т0 l (Yo) = d (р, q) по определению лоренцева расстояния. Тем самым теорема 3.13 позволяет утверждать, что yo с точностью до перепараметризации является гладкой геодезической.
В случае когда р -С q, максимальную кривую Yo можно построить также, используя результаты разд. 2.3. Пусть/: M -> R — глобально гиперболическая временная функция для (M, g). 5.2. Геодезическая полногНа
131
Выберем t0 так, чтобы f (р) < t0 < f (q). Тогда пересечение K=J+ (р) П J~ (я) П f'1 (U) компактно и любая непространственноподобная кривая из р в q пересекает К• По определению лоренцева расстояния найдется кривая уп йр, для которой
d(p,q)^L(yn)^d(p,q) - -Lt
где п — произвольное натуральное число. Пусть rn ? уп f) К-Вследствие того что К компактно, подпоследовательность гп (/) сходится к г t К- Согласно следствию 2.19, существует непространственноподобная кривая Y0, проходящая через г, соединяющая р с q и предельная для последовательности |у«(/)1- Так как (М., g) сильно причинно, то из предложения 2.12 вытекает, что некоторая подпоследовательность последовательности І7п (/)| сходится к Yo в С'-топологии. Используя замечание 2.22 и условие (1), получим, что L (yo) ^ d (р, q)- Отсюда по определению расстояния L (у0) = d (р, q) и Yo можно (по теореме 3.13) перепараметризовать в гладкую геодезическую. Если р < q и d (р, q) = 0, то, согласно следствию 3.14, как мы уже знаем, найдется максимальный изотропный геодезический сегмент из р Bq.
В связи с теоремой 5.1 следует отметить, что глобальная гиперболичность не является обязательным условием для существования максимальных геодезических сегментов, соединяющих все пары причинно связанных точек. Пусть M = \(х, у) ? R2: О < X < 10, 0 < у < 10} оснащено лоренцевой метрикой, которую оно получает как открытое подмножество пространства-времени Минковского. Вследствие того что геодезические на M являются евклидовыми прямолинейными отрезками, видно, что для любой пары причинно связанных точек существует соединяющая их максимальная геодезическая. С другой стороны, если р = (1, 1) и q = (1, 9), то J+ (р) П J~ (я) некомпактно. Поэтому это пространство-время не может быть глобально гиперболическим, хотя оно и сильно причинно.
5.2. Геодезическая полнота
В теореме 3.9 мы показали, что лоренцеву функцию расстояния можно использовать в сильно причинном пространстве-времени при построении подбазиса исходной топологии многообразия. В то же время множества \q ? М: d (р, q) < R\ не могут образовывать базиса исходной топологии многообразия. Поэтому в общей теории относительности геодезическая полнота пространства-времени обычно рассматривается чаще, чем метрическая полнота.
Пусть (М., g) — произвольное лоренцево многообразие.
5* 132
Гл. 5. Полнота и расширении
Определение 5.2. Геодезическая с с аффинным параметром t на многообразии (М, g) называется полной, если эту геодезическую можно продолжить так, чтобы она была определена для всех значений параметра t, — оо < t < оо. Непродолжаемая ни в прошлое, ни в будущее геодезическая называется неполной, если ее нельзя продолжить до произвольно больших положительных и отрицательных значений аффинного параметра. Неполные в будущем или неполные в прошлом геодезические можно'определить аналогично.
Аффинный параметр кривой с возникает в том случае, если существует такая параметризация кривой с, относительно которой с (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению геодезических sjc-c' (t) = 0 для всех t (см. Кобаяси и Номидзу (1981, с. 135)). Необходимость использования понятия аффинного параметра возникает вследствие того, что изотропные геодезические, длины которых равны нулю, не могут быть параметризованы длиной дуги. Если s и і — два аффинных параметра для с, то из дифференциального уравнения геодезических вытекает существование постоянных a, b (-" R, а ф 0, таких, что s = at + b для всех значений t из области задания с. Отсюда следует, что полнота и неполнота, введенные в определении 5.2, не зависят от выбора аффинного параметра. В частности, если с — непродолжаемая времениподобная геодезическая, параметризованная длиной дуги (т. е. g (c' (t), с' (t)) = —1 для всех t из области определения с), то с неполна, если L (с) < оо. Может случиться, что с неполна даже в том случае, если L (с) = оо. Это происходит, например, тогда, когда область определения с имеет вид (а, оо), где а > —оо.
