Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
1
=г
І о,
у 2it (sin 9)1* (cos»—cos 9) , O =S о <9,
-V--T
, U,
9<»<n, (1)
О <в Cx, Кец<4-. з 1є] разложение по функциям лежандра 167
Заменяя g на и—в и в на я— о, получаем отсюда, что
OO
njjp11 1 (— C0S») + 2 ^ (— Iyf1 , (-COS о) cos (лв) j =
І О,
п=и
-1» - -
у 2я (sin vf (cos zi — cos 6) , а<в < К,
О < в < V,
О < о < я, Re ft <i-.
Аналогично из 3.7(27) вытекает
OO
г (1-.)2 PE(COSfl) COS (л + 1) S =
-K5
(Sine)Il(COStI-COSe) * 2, Os?»<9,
О, в <»< я, (2)
О < 8 < я, Reft<i-.
-ii-i
Если разложить (г—cos») 2 в ряд Фурье (г фиксировано и не является точкой вещественной оси между — 1 и 1), то с помощью 3.7(10) получим
Q* і (г) + 2 2 <?_±(*) cos (я®) =
— у B = I 2
,----Ji _
= ^y yr(^+i)(z»-l)2(z-C0SO) * T
Reft>-1
(3)
2"
где г ие лежит на вещественной оси между — 1 и 1. Далее из 3.7(16) следует
Р'<г) + 2 2 Г(Г+м + 1) ТИ-
т = I
= [z + V г2 —1 cos (v — <р)]\ Re г > 0. (4)
Следовательно, положив w = 0, заменив м иа —v—1 ¦ воспользовавшись 3.3(1) и 1.2(3), получим
со
Pv (.).+ 2 21 (-1Г r(Vr~^|)1) P?(z)co3(mv)-
fllsa 1
= (г + Y я* — 1 а» »)""*""?» Re г > 0. (5> 168 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ІГ*. З
Разложение Дуголла
п = 0
— я < В <; я, (1^0,
может быть доказано следующим образам- будем исходить из формулы
n = 0
(7)
которая легко устанавливается при вычислении контурного интеграла
J (*-1
</г
- о) sm (яг) '
взятого по окружности с центром в начале координат и радиусом (лГ+у) *
(N—натуральное число). Применив теорему Коши и перейдя к пределу при N—Ca, получаем (7). По !,ставив (7) в 3.7(27), проинтегрировав цо частям и замене (л на —ц, получаем формулу (6).
Далее, из формулы 3.7(27) имеем P ^li(CosB)Prx (cos в') = 9
8 dvx
=JcosI^+1)(cosV-coa^
о
X |'cos[(, + l)?](cosT-cose-)X~^rf?.
о
Применив (7) и проиитегрирояав по частям, находим Р7^(сов B)P7x(cos 6') =
= 2 (-1)» (-^br -Ї+І+Т) р-*(cos 9) р-х (сов е,)' <8>
п —О
— я < 8 4- 8' < я, — я < 8 — 6' < я, (1^0, Х^О.
Далее, положив в формуле (8) ft = 0 и X = m (т — натуральное число), про-интеїрировав т раз по х и применив 3.6(6), выводим, что
К(х) РГ т (*')=
=^i 1 "(П (9)
л = m
О<8<я, 0<8' <«, 6 + 0' <Jt1 X=COSfl, AT1 =COSfl'.
(Об аналогичных разложениях см. Мае Robert, 1934.) 3.11] ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ 169
Из асимптотических разложений 3.3(21) и 3.2(44) для Pn (г) и Qn (г) соответственно (см. 3.9(1)) получаем, что при условии
Iг + < |С + /Cr=II
первая часть равенства 3.8(21) стремится к 1, когда п — ао. Отсюда получается формула Гейне
(С-г)"'= fj (2ів +1)Pm(г)Qm(С). (10)
IH = O
О многих других формулах см. Dougall, 1919; Darling, 1923; Prasad, 1930, стр. 64-67, 159; 1931; Shabde, 1931, 1932, 1933; BanerJee, 1932; MacRobert, 1934, 1935, 1936.
3.11. Теоремы сложения
Соотношение
Р, [гг- -cos <|/ K(S8-I)(г'8—1)] =
со
= P,(Z)РЖ) + 2 2 С-')" rtv + m + O РГ(г)РГ(г')соз(«И (1)
т ¦= 1
Re г >0, Re г' >0, | arg (г— 1) | <ic, | arg (г' — !)(<«,
может быть выведено следующим образом. Из равенств 3.10(4), 3.10(5) и теоремы Парсеваля (Титчмарш, 1951, стр. 470) следует, что ряд
OO
2РЛг)РЛг') + 4 J (-')" ?(! + « + !) (г) Р? (г') cos (тф) т = 1
сходится к
і f 1г + /^rTcos (Ф - аф
я [г' + У г"— 1 cos Ф],+і
причем последнее выражение, в силу 3.7(18), равно
2Pv [гг' — cos <|/ /(г2— 1)(г'2— 1)).
Отсюда и вытекает равенство (1).
Далее (Гобсои, 1952, стр. 358), в силу 3.4(14), имеем Р, (cos 8 cos в' + sin в sm в' cos ф)=
оэ
= Р, (cos в) Р, (cos в') + 2 2 (— T Р," т (cos в) Р™ (cos в') cos (mil) =
т — I
оо
= P, (cosfi) Pv (cos в')+2 2 T(v + m + І) P*(C°S 9) Р" <cog 9^cos т = I
О ^ 6 < *, 0 s? в < г., в +в <«, 4> — вещественное. 170 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. 3
Поэтому из 3.4(14) вытекает 1
Q, (cos 9 cos 9' + sin 9 sin9' cos ф) =
со
= P„ (cos 6') Q, (cos 9) + 2 2 (-IynPrm(COsgi)Qf (cos 9) cos (mi) = m — 1
oo
= Pv (cos 9') Q, (cos 9')+ 2 J fte^jj K (a* 9') Q™ (cos 9) cos (mty, (3)
m = 1
1С
O < G < у, O < 9' < it, O < 9 + 9' < it, ф — вещественное.
Из (1) и 3.3(11) следует_
Q, [ft--cos-V /(**-l)(f'8-l)] =
= Q, (/) P4 (f) + 2 fj (- 1Г Q? W K m (0 cos (тф), (4)
IB = 1
t, f — вещественные, l<f<f, K^zf:—1, —2, —3, ... f
ф — вещественное
(аналогичные разложения см. Cowling, 1940, стр. 222).
3.12. Интегралы, содержащие функции Лежандра
Если «!^(г) н тЦг) означают решения дифференциального уравнения Лежандра 3.2(1) с параметрами ч, ц и s, р соответственно, то из 3.2(1), 3.8(10) и 3.8(19) вытекает, что O
$ [(V-- о) (V + a + 1) + (р8 - Ц8) (1 - Z8)-1 ] < < dz = а
I / dw\ „ dw%\ іг>
= \г (V- а) < »? + (« + р) < »J _ 1 — + - і •? ]«. (1) Когда (і = р = 0, из (1) и 3.8(7) следует
I -. Wzt-I (»„»і—»,»«и J
a
Если через w, и обозначить две функции Лежандра на разрезе, то из (1) и 3.8(17) получим
[V 1 -JC8 (WjWJ-W wJ)]J
(8)
а
Следующие результаты легко могут быть получены из (2) и (3) с помощью Ъ12} ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 171
