Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
/з (pi, р2; г) о^з (рь р»; — *)=
м з
4-(pi + р.- IX -5-(Pt + р.). 4-(Pt + р* +** -(т)8
з гг" з „ „ Pi Ps Pi_L_L.Pi.i_L А и
Pl> Pa. -9-,-9-,-9--+^-9-, о "Г-Н". л> (*
Ш
(7)
где X = -i-(Pl+Pt —1), (t = y(pi + ps)-
л ft («• в a+?+y;г)=
-Л(2«, 2?, а + р;2а+2р-1;«+р + 1; г),
= ,Fs(2a-l; 2р, e + p —1; 2« + 2р-2; «+P--J-; г).
(?
(9)
Ряд в формуле (4) сходится лишь в случае, когда а или P являются неположительными целыми, но формула (4) формально справедлива для всех значений а, ? в том смысле, что при формальном перемножении степенны^ рядов в левой части равенства получается правая часть равенства. Остальные формулы справедливы по крайней мере, если |г|<1.
Соответствующие формулы Кели и Oppa (см. 2.5(4)) можно найти у Бейли (Bdilev, 1935). Следующая формула принадлежит Дарлингу (Н. В. С. Darling, 1932) (см также Bailey, 1935):
р К Р. г. F П — а> 1—Р. 1—Г г! 8,. J^aI 2 —Ь, 2 —е J-
-in! F b+1-*. ? + 1-Л 7 + 1-?;
— Є —a a^s L 2 — 8, г + 1 — Ь I
2 — 8, е + 1 — Ъ X ,Fs f ~~ \ І7 Г' г] + произведение,
X
получаемое перестановкой 8 и е.
(10)
Другие результаты, связанные с тождествами Кели и Орра, см. в п. 2.5.2 и Burchnall, Chaundy1 1948. Большое число разложений гипергеометрических функций в ряды по другим гипергеометрическим функциям было получена Ченди (Т. W. Chaundy1 1942, 1943). Простейшими случаями являются:
F (А, В; C-, г) =
_ V (- 1 Y(a)r{b)r „ IА, В, с, —г; П _, р ,_,_,..„. , . .
2 -(ф^ 4 4 а,Ь,С \*г^Л«+г.Ь + г,с + г, г) =
г = О
_ V (-ІY(a)r(b)r р \А, В, c+r—1, -г; 11
Ь + г; с + 2г; г),
/• = 0 189 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4
оэ
,F1 (с, рг),F1 (tf; qz) = J Л ^ - « - я, - * С; , (12)
HxO
(а; й; рг) ,F1 («'; с'; <jz) =
= I^4-'''Г,:::;-'} «
(в, 6; с; pz) ,F1 (в1, У; С; gz)=
_ V (Д)я(^)я(рг)" „ Го', bf, 1-е —я, — л; -2Л ....
а я,(с)» L(>
,F^e1 ft />z),F,(e', b-, qz) =
= У СЙ^ЙЙГ^Г в', у, -f I (И) „Со п Li—в —я, 1-й —л]
Ряды в формуле (15) расходятся, за исключением случая, когда они состоят из конечного числа членов. Однако коэффициенты при соответствующих степенях z в обеих частях равенства совпадают.
Две функции pFg называются смежными, если их аргументы и параметры имеют одни и те же значения, за исключением одного параметра, значения которого могут отличаться на _t 1. Существуют 2рq линейно независимых линейных соотношений между фиксированной функцией pFq и ее 2(p-\-q) смежными функциями. Коэффициенты этих соотношений являются линейными функциями переменного и мноючленами от параметра. Эти соотношения были получены Е. Рейнвиллом (Е. Rainville, 1945) для случая, когда все параметры знаменателя отличны от 0, — 1, —2, ... и p^g+ 1.
4.4. Обобщенный гипергеометрический ряд, аргумент которого равен единице в случае р — д-\-1
Стандартные типы обобщенных гипергеометрическах рядов. Если параметры q+lFq(a-r, Pt, z) таковы, что
+ + • 4-«ff+і ==— 1 4-Pi + --- + P^ О)
то ряд называют рядом вида Заальшютца. Если
l+ai==pi + as —-- = P? + 01?+!. (2)
то ряд называют вполне уравновешенным. Если все равенства в (2), за исключением одного, выполняются, то ряд называют почти уравновешенным. Тої да, не меняя самого ряда, можно упорядочить параметры так, чтобы нарушение равенства сумм пары параметров встретилось или для первой или для последней пары; соответственно зто,іу р>.д Fq называют почти уравновешенным первого нли второго рооа соответственно. 190 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4
Теорема Заальшютца
л| Ije' Ь17Я' I = SiFr-kiiz^. «=0,1,2,..., (3)
• l+a+b— е — п\ (е)п(с — а — Ь)п' ' w
которая была доказана в п. 2.1.5 (см. 2.1 (30)), позволяет вычислить сумму любого конечного рлда tF, вида Заальшютца. Для бесконечных рядов вида Заальшютца имеем (Saalschutz, 1891, Bailey, 1935, стр. 21)
р[а,Ь, e+f~a-b-\-,\_T(c)T(f)T(c-a-b)T(f~a-b) , а/Ч е./ I T(c-a)T(c-b)T(f-a)V(f-b)
I (а + й-с)-'Г(с)Г(/) Г с-а,с-Ь, 1; 1
"+"1^)1(0) Г (?+/- a—b)'*[<> —а —й + 1, с+/— а — Ь\ш { '
Эта формула является частным случаем большого числа линейных соотношений между тремя рядами ,F2; полное исследование таких соотношений имеется > Бейлн (Bailey, 1935, гл. III).
Каждый вполне уравновешенный ряд ,Fs прн z = 1 может быть просуммирован с помощью гамма-функций. Результат имеет вид
I а, Ь, с; ]_ »Li +в-Ь, 1 +в — е\ —
т(і + ?)Т(\+а-Ь)Т(1+а-с)т[\~Ь-с + ^
Т(1 + а)т{і-Ь+^т(\-с + -^Т(1+а-Ь-е)
Ф)
(6)
Это — теорема Диксона (см. Dixon, 1903; Watson, 1924; Bailey, 1937; MacRobert, 1939). Кроме того „Fs может быть вычислено прн z= 1 в следующих сл>чаях:
а, Ь, с; 1
l(« + o + l), 2cJ =
(теорема Ватсона, см. Whipple, 1925) и - [ а, 1 — а, с; 1 _
__«Г (/) Г (2с+1-/)2'-"_
?=1-в
(теорема Уиппла, см. Whipple, 1925). 190
ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
[Гл 4
Теорема Дуголла позволяет просуммировать конечный вполне уравновешенный ряд jFe при 2 = 1 я специальных значениях второго параметра:
7 Ft
а, l+y, b, с, d, е, — я; І, 1 + в— Ь, 1+0 — с, 1 + e — d, 1+0 — е, 1 + о + п
