Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(8)
+а-Ъ-с)п (\+a-b-d)n(\+a-c-d)n (1 + + a-c)n(l + a-d)n(\+a-b-c-d)n'
где 1+2a=b+c+d+e—n и n = 0, 1, 2, ... (Dougall, 1907).
Существует целое семейство преобразований ряда q+1Fg при z=l, то есть форм) л, позволяющих выразить один из таких рядов через один нли несколько других (часто при других значениях q). Простым примером является соотношение
Г — п, Ъ, с, d; 1 _ **\\ — п — Ь, 1 —п—с, w\
(w — d)n ч
X ,Pt
(«)*
. . , піп,
d, 1 — п — b — с, — 2", у —у, \ — п — ж,
1 — п — Ь, 1 — п — с, у(1 + d — w — п), !+-^-(rf-
¦ w ¦
¦п)
(9)
которое позволяет преобразовать обрывающийся почти уравновешенный ряд tFs второго рода в ,Z74. Об этом и друїих более сложных результатах см. Bailey, 1935, гл. III —VI; Whipple, 1935, 1937; MacRobert, 1939, Mitra, 1942; Bose, 1944
4.5. Преобразования q+1Fq при значениях аргумента, отличных, от единицы
В общем случае q>-1 не известно никаких чинейных преобразований для q+iFg, за исключением связи межд> обобщенными гипергеометрическими рядами от аргументов z и z~l, которые являются решениями одного и того же дифференциального уравнения (см Thomae, 1869; F. С. Smith, 1938, 1939). В некоторых сл)чаях существуют квадратичные и кубичные преобразования для sF2, например
р Г о, ?, с; г 1
1+0 — Ь, 1+e-c J
= (1 -ZftF3 ?
1+a-b-c, f, -J + 1; -4z(l-z)->~ 1+0 — Ъ, 1+0 —с J
(Whipple, 1927) и
Л
а, 2Ъ-
1, 2 — 2b+a, I
Ь, a — b + Y
а а_ , Ji^ 3' 3+3
«+1 3^3
— 27 г 1 4 (1 —zf
ь, + l
0)
(2) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ї+ІPq
191
Эта формула была доказана Бейли (Bailey, 1929). Бейли указал также линейное преобразование почти уравновешенной функции ,Fa первого вида:
(1 -zfa-\F,
2а — 1, o+j, а — Ь — l; г
1 , ь . 1 2 •° + 6 +2
= (1 -ZYb-1 ,F,
26 — 1, 6 + у, Ъ — а —
1
(3)
Берчнелл (Burchnall, 1948) доказал, что вполне уравновешенная функция gFe аргумента х может быть выражена как сумма рядов ,F9 аргумента (*-!)' Ax ¦
В некоторых случаях q+1Fq можно вычислить для аргумента, не равного едньице, например
а, 1 +j , b, с; — I тг, 1 + 0 — 6, 1+0 — с
_ Г (1 + а — 6) Г (1 + о — с) ~~ Г(1 +o)r(l +о — Ь — с)
(4)
(см. Bailey, 1935, стр. 28, a также Bailey, 1929).
Некоторые частные случаи: формулы, выведенные в п. 4.4 и в этом тнкте, содержат большое чнсло результатов, которые трудно было бы установить непосредственно н которые были уже давно отмечены в литературе. Например, 44(5) дает (при а = 6 = с = —п)
2 (-1W=— , \\ ;1 „\—2J—. (5)
г=O
Еслн подставить в 4.4(8) 6 = 1 + а + п и перейти к пределу при п —<¦ оо, пол\чнм
Л
1+2"> с> d> е' , 1 +о — с, 1 +о — d, 1 + а —е
Г (! + о — с)Г(1 +о— tf)r(l+o — е)Г(1+о — с — d — е) - Г(1 +о)Г(1+о — d — е) Г (1 + а — с — ?) Г (1 + а — с — d)
(6)
Специальным случаем этого равенства является формула Дуголла — Pa-мануждана *
со
1+2 ^ (—x)n(—y)n(—z)n _
я—1
О+ *)»(!+Л (1 + *)»
_ Г(д:+1)Г(у + 1)Г(г + 1)Г(д:+^+г+?)
гСУ + г + +г + 1)Г(лг+з»+ 1) ' W 192 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4
которая имеет место при Re(*-f-.y-f-2-|- 1)>0. Другим следствием формулы (6) (при а=1, ?=1—х, d = e=\) является
1 Я 1 і 5(* —')(* —2) _n т
Ряд в левой части равенства сходится, если Re л: > 1. Много результатов для друїих частных случаев указаны Бейли (Bailey, 1935, примеры ва стр. 96, 97) и Харди (Hardy, 1923). Усеченный гипергеометрический ряд
г=- о
можно двумя различными способами выразить через ,F1:
« = F Г —п' а> * zI- tim F Г'*-п> Ь'• zI
-п,с J .Mio , s| J
и
- _ (°)пф)п р П. -Я» 1-Я-«; 2ГЧ Ул--Щ^Гza^ll-п-а, 1 -п-Ь I*
Если Z= 1, имеем T taut с n-r(e + »+l)r(fr + "+l) F Г «.М + » 1
с, U--йГг(о + 6 + n-f-1) e + ft+n+lj"~
__ Г (1 + а - с) Г (1 + Ь - с) { (а)п-м (Ь)п+1 ["1-а, l_ft,«+l;-j\
— Г(1 —с)Г(1— с + а + Ь)\ (»+1)1(с~1)«+1 ' Ч 2-е, я + 2 \Г
__ Г(о-{-я+1)Г(і> + я+1) Г с—a, v—lr, с +я;] ~~ п!Г(о+Л— с+1)Г(с + л+1) L е, с-Ня+1 J
(см. Bailey, 1935, стр. 93, 94). Соответствующие формулы существуют для усеченного ряда ,Fj и для специальных усеченных рядов ,Ft при Z= 1 (см. Bailey, 1935, стр. 94, 95).
4.6. Интегралы
Интегралы, аналогичные интегральному представлению Эйтера в п 2.1.3, были получены для случая общею гипергеометрнческоїо ряда pFQ Похгам-мером (Pochhammer, 1893b), Эраейн (Erdehi, 1937) (см. также 5.2(2)) и Б. Г Певным (1940) для интегральных соотношений вида 24(2). Распространение интегрального представлення Бернса 2.1(15) на случай общего ряда JFq может быть выведено нз результатов а. 5 3 и 5.6.
Многие определенные интегралы могут быть выражены через один или несколько рядов pFq. Например, преобразование Лапласа pF?, p^q, есть 4 7] НЕКОТОРЫЕ "ЧАСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ > 1вЗг
Формула Ченкера (Shanker, 1946) дает преобразование Ганкеля для
t=»±I, 1+1+1. <L]Mgt)V*d<~
= (!)«*'" V.[p, ^+f+i; I=^tLi -?±J±I; j],
где
Bi=O1 1,2, ... и Re(p + v+l)>0, Re(p —m + l)>0, Rep>y. Другие частные результаты можно найти в п. 4.7 и у Эрцейи (Erdfelyi, 1938),
4.7. Некоторые частные результаты
