Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Гипергеометрические ряды Гейне будут изучены в п. 4.8. Дальнейшие обобщения см. в і л. 5.
На протяжении этой главы будут соблюдаться следующие условия.
Значения q параметров р„ ... , в pFq отличны от 0, — 1, —2, ...
Если переменная z в g+1 Fq не равна единице, то предполагается, что |г|<1.
Если переменная г в q+iFq равна единице, то мы предполагаем
/ я )
1H
u-i /•=1 J
Если переменная z в pFq равна единице, она будет опускаться.
4.2. Дифференциальные уравнения
Функция pF„ определена равенством 4.1(1). Этот ряд был введен Клаузе-ном (Clausen, 1S28) для случая р = 3, q= 2. Обозначение введено Похгам-мером и модифицировано Бернсоч. Если одно нз "исеї аг является целым неположительным, то ряд состоит из конечного числа членов (случаи, когда одно из pt является целым неположительным, исключены).СЦ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 185
Если p=.q+ \ и
S=Re(P1+ ... H-P9-»1— — — 0)
то ряд 4.1(1) при s > 1 сходится на всей окружности | z | = 1. Если 1s > О, он сходится при всех z таких, что |г| = 1, гфі, а если s =гсО, то расходится на всей окружности | г | = 1. Доказательство аналогично тому, которое приведено в 2.1.1 для :F1.
Пусть 8 означает оператор г . Тогда функция U=ZpFq удовлетворяет дифференциальному уравнению
(8 (8 + P1-I) ... (8 + Р?- 1)-г (8 + «,) ... (8 + ар)} а = 0, (2)
которое эквивалентно общему уравнению вида я
2] Zn-^anZ-bn)DnV+ atv +гЮЯ+Ч)=0, q^p, (3>
п = t
или
я
2] Zn-^anZ- ft„)D»+e0« + z?(l — 2)Z)««o = 0, (4>
я=> 1
P = q+h
где ап, Ьп — постоянные, апфО и D = ^-. Для уравнения (3) 2 = 0 и
Ц»
г = оо — особые точки, причем z = O — правильная особая точка (см. Уитте-кер и Ватсон, 1961, п. 10.3). Уравнение (4) является уравнением типа Фукса с правильными особыми точками 0, со, 1. О множестве линейно независимых решений в окрестностях точек z = O и z = oo см. п. 5.4. Здесь, как и в большей части литературы, рассматривается лишь общий случай, когда ни одно из чисел р; и ни одна из разностей pr — р0, ar — as (гф s) не являются цеяыми числами.
В случае p^q. Берне (Е. W. Barnes, 1906) дал асимптотическое разложение для решений (2) в «общем» Ciy чае (см. выше). Похгаммер (L. Pochhamraer, 1893b) рассмотрел различные формы уравнений (2) и (3) и дал полное множество линейно независимых решений в виде кратных интегралов. В частности, случаи q = 3 и q =A (p-^q) были изучены Похгаммером (Pochhammer, 1893а, 1895, 1898)
В случае p = q-\-1 Похгаммер (Pochhammer 1888b) изучил уравнения (2) и (4) в общем случае и указал кратные интегралы, которые являются решениями в окрестностях точек z = 0, со, 1. Он указал также, что существуют/» линейно независимых решений, которые однозначны в окрестности точки z=I. Для р = 3, д = 2 это было доказано Гурса (Е. Goursat, 1883, 1884) Томе (Thomae, 1896) указал связь между полными множествами линейно независимых решений в точках 2 = 0 и z = oo при р = 3, ? = 2. Это было сделано при всех значениях />(=^+1) Смитом (F. С. Smilh, 1938, 1939), который изучил также различные частные случаи, когда некоторые из решений уравнений (2) и (4) выражаются через логарифч (все или некоторые из разностей Pi — Ps могут быть целыми, но р* — а и сами р( не являются целыми; все или некоторые разности ar — as — целые, но ar — pt и сами аг не являются целыми).
Если V (z) удовлетворяет уравнению (2) и если эта функция может быть выражена как преобразование Лапласа аналитической функции w (I) такой,186 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4
что Iim г» (ft = 0, <
< — о
OO
V (г) = ^ B-ztW (t) dt, то w(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
•|(— !У4"1 6(0+1 —«і)...(в + 1 —«р) +
+ (— 1)^(0 + 1)(0+2 — P1)...(в +2—р9)} v = 0, (5)
в , Л
где 0 = ^. dt
О других результатах, касающихся дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют функции, выражаемые обобщенными гипергеометрическими рядами, см. Chaundy, 1O43.
4.3. Тождества и рекуррентные соотношения
Клаузен (Т. Clausen, 1828), доказал, что
г , і ч із г 2в, в + ft, 26; 2 -і
\Р[а,Ь-,а + Ь + Гі *)| -Л^ + і + ^.Й, + ^. (О
Он показал, также, что это — единственный случай, когда квадрат F (а, Ь; с, г) выражается в виде функции ^F2 от аргумента г. Более общий результат пол\чен Э. Гурса (Е. Goursat, 1883). Он доказал, что F(a, b; с; z)F(<f, V\ с'; z) является функцией pFg аргумента z лишь тогда, когда либо
в' = в+1-е, b' = b + l — c, С =2—с,
с — а — Ь = п + -І-, я = 0, ±1, ±2, ...,
либо а—a', b — Ь', с — с' — целые и е+с' — а — а"—b — Ь' = п, где п = 0, 1. 2, ...
В. Н. Бейли (W. N. Bailey, 1928) дал новое доказательство для этого и аналогичных результатов Орра, Приса (Orr, Preece, 1924) и Рамаиуждана и дополнил их некоторыми новыми формулами. Имеем
Л(р; + у+у-у; р> «. р + «-»: **), <9
Л (р; *) .f1 (р; -z) =.fa (р, -g~f 1; - , (8)
,F, (а, ?; г) „F0 (а, ?; -z)= ,F1|?, ~(a+?), i-(«+? + 1); а +?; 4j, (4)
Jri («; p; г)іFi(«; p; — *)—»f. (a, P—a; p, l(p +1>; ?)
2a; z) tFt (?; 2?; -г)=
= («+?), y(a+P+l>; a+T' J]» W14 3] тождества и рекуррентные соотношения