Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 50

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 87 >> Следующая


Гипергеометрические ряды Гейне будут изучены в п. 4.8. Дальнейшие обобщения см. в і л. 5.

На протяжении этой главы будут соблюдаться следующие условия.

Значения q параметров р„ ... , в pFq отличны от 0, — 1, —2, ...

Если переменная z в g+1 Fq не равна единице, то предполагается, что |г|<1.

Если переменная г в q+iFq равна единице, то мы предполагаем

/ я )

1H

u-i /•=1 J

Если переменная z в pFq равна единице, она будет опускаться.

4.2. Дифференциальные уравнения

Функция pF„ определена равенством 4.1(1). Этот ряд был введен Клаузе-ном (Clausen, 1S28) для случая р = 3, q= 2. Обозначение введено Похгам-мером и модифицировано Бернсоч. Если одно нз "исеї аг является целым неположительным, то ряд состоит из конечного числа членов (случаи, когда одно из pt является целым неположительным, исключены). СЦ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 185

Если p=.q+ \ и

S=Re(P1+ ... H-P9-»1— — — 0)

то ряд 4.1(1) при s > 1 сходится на всей окружности | z | = 1. Если 1s > О, он сходится при всех z таких, что |г| = 1, гфі, а если s =гсО, то расходится на всей окружности | г | = 1. Доказательство аналогично тому, которое приведено в 2.1.1 для :F1.

Пусть 8 означает оператор г . Тогда функция U=ZpFq удовлетворяет дифференциальному уравнению

(8 (8 + P1-I) ... (8 + Р?- 1)-г (8 + «,) ... (8 + ар)} а = 0, (2)

которое эквивалентно общему уравнению вида я

2] Zn-^anZ-bn)DnV+ atv +гЮЯ+Ч)=0, q^p, (3>

п = t

или

я

2] Zn-^anZ- ft„)D»+e0« + z?(l — 2)Z)««o = 0, (4>

я=> 1

P = q+h

где ап, Ьп — постоянные, апфО и D = ^-. Для уравнения (3) 2 = 0 и

Ц»

г = оо — особые точки, причем z = O — правильная особая точка (см. Уитте-кер и Ватсон, 1961, п. 10.3). Уравнение (4) является уравнением типа Фукса с правильными особыми точками 0, со, 1. О множестве линейно независимых решений в окрестностях точек z = O и z = oo см. п. 5.4. Здесь, как и в большей части литературы, рассматривается лишь общий случай, когда ни одно из чисел р; и ни одна из разностей pr — р0, ar — as (гф s) не являются цеяыми числами.

В случае p^q. Берне (Е. W. Barnes, 1906) дал асимптотическое разложение для решений (2) в «общем» Ciy чае (см. выше). Похгаммер (L. Pochhamraer, 1893b) рассмотрел различные формы уравнений (2) и (3) и дал полное множество линейно независимых решений в виде кратных интегралов. В частности, случаи q = 3 и q =A (p-^q) были изучены Похгаммером (Pochhammer, 1893а, 1895, 1898)

В случае p = q-\-1 Похгаммер (Pochhammer 1888b) изучил уравнения (2) и (4) в общем случае и указал кратные интегралы, которые являются решениями в окрестностях точек z = 0, со, 1. Он указал также, что существуют/» линейно независимых решений, которые однозначны в окрестности точки z=I. Для р = 3, д = 2 это было доказано Гурса (Е. Goursat, 1883, 1884) Томе (Thomae, 1896) указал связь между полными множествами линейно независимых решений в точках 2 = 0 и z = oo при р = 3, ? = 2. Это было сделано при всех значениях />(=^+1) Смитом (F. С. Smilh, 1938, 1939), который изучил также различные частные случаи, когда некоторые из решений уравнений (2) и (4) выражаются через логарифч (все или некоторые из разностей Pi — Ps могут быть целыми, но р* — а и сами р( не являются целыми; все или некоторые разности ar — as — целые, но ar — pt и сами аг не являются целыми).

Если V (z) удовлетворяет уравнению (2) и если эта функция может быть выражена как преобразование Лапласа аналитической функции w (I) такой, 186 " ОБОБЩЕННЫЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД [Гл 4

что Iim г» (ft = 0, <

< — о

OO

V (г) = ^ B-ztW (t) dt, то w(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

•|(— !У4"1 6(0+1 —«і)...(в + 1 —«р) +

+ (— 1)^(0 + 1)(0+2 — P1)...(в +2—р9)} v = 0, (5)

в , Л

где 0 = ^. dt

О других результатах, касающихся дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют функции, выражаемые обобщенными гипергеометрическими рядами, см. Chaundy, 1O43.

4.3. Тождества и рекуррентные соотношения

Клаузен (Т. Clausen, 1828), доказал, что

г , і ч із г 2в, в + ft, 26; 2 -і

\Р[а,Ь-,а + Ь + Гі *)| -Л^ + і + ^.Й, + ^. (О

Он показал, также, что это — единственный случай, когда квадрат F (а, Ь; с, г) выражается в виде функции ^F2 от аргумента г. Более общий результат пол\чен Э. Гурса (Е. Goursat, 1883). Он доказал, что F(a, b; с; z)F(<f, V\ с'; z) является функцией pFg аргумента z лишь тогда, когда либо

в' = в+1-е, b' = b + l — c, С =2—с,

с — а — Ь = п + -І-, я = 0, ±1, ±2, ...,

либо а—a', b — Ь', с — с' — целые и е+с' — а — а"—b — Ь' = п, где п = 0, 1. 2, ...

В. Н. Бейли (W. N. Bailey, 1928) дал новое доказательство для этого и аналогичных результатов Орра, Приса (Orr, Preece, 1924) и Рамаиуждана и дополнил их некоторыми новыми формулами. Имеем

Л(р; + у+у-у; р> «. р + «-»: **), <9

Л (р; *) .f1 (р; -z) =.fa (р, -g~f 1; - , (8)

,F, (а, ?; г) „F0 (а, ?; -z)= ,F1|?, ~(a+?), i-(«+? + 1); а +?; 4j, (4)

Jri («; p; г)іFi(«; p; — *)—»f. (a, P—a; p, l(p +1>; ?)

2a; z) tFt (?; 2?; -г)=

= («+?), y(a+P+l>; a+T' J]» W1 4 3] тождества и рекуррентные соотношения
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed