Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 48

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 87 >> Следующая


ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

[Гл. 3

3.14. Функции конуса Дифференциальное уравнение

ІР—вещественный параметр) является частным случаем уравнения 3.2(1),

где V=— -І. + 1р.

Решениями уравнения (1) являются

Р* і (z) и Q^ , (z). (2)

-2 + Ч> - 2 + (Р

Функциями конуса называют решения уравнении (і)лри вещественных значениях аргумента, меньших по модулю, чем 1,

P11 , (cosfl) и О* , (cosfl). (8)

Основные свойства этих функций могут быть получены из общих свойств функций Pf(COSfl) и Qf (cosfl). Например, нз 3.5(7) н 3.5(8) следует P і (cosfl) —

'¦+(і)" к+й'Ік+вЛ

= 1+ —(sine)2 + '--Ш(Лв). + ..., (4)

P I (cosfl) = 2

0^fl<5;

, 1 + jg+u( Ц)* 4-^ + + * ( ff + ... , (5)

О <? 0 < я.

Отсюда видно, что функции конуса первого вида положительны при вещественных значеннях р. Специальным случаем формулы (5) является формула

P_ Ucosfl) = ?A:(sin|y,

Л—полный эллиптический интеграл первого рода (см. также Darling, 1923; Lowry, 1926; Airey1 1935).

Формулы, аналої ичные соответственно формуле Неймана 3.6(29) и формуле Гейне 3.10(9) были установлены Мелером (Mehler, 1881, стр. 193):

СО

%Р , (- дг)=сЬ(ря) С —Цр , (V)dv, х<1; (6)

(Jf)P , ^x)dp. (7) Ї.І51 ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА \ТГ

Эти формулы являются частным случаем следующей формулы обращения (Mehler, 1881, стр. 192; В. А. Фок, 1943):

/(*) = Mh(^)T P1 (x)g (X) dx, (S)

I JT^

g (Х)=Л P , (x)f(t)dt. (»>

0 - 2 + "

Все другие свойства и представления функций конуса вытекают из формул предыдущих пуиктсш этой главы. См. также Mehler 1881 и Neumann, 1881 О теореме р-азиийсення, содержащей функции конуса, см. Baner-jee, 1938, стр. 30.

3.15. Функции Гегенбауэра

3.15.1. Многочлены Гегенбауэра. Многочлены Гегенбауэра С* (г) при целых значениях п определяются как коэффициенты при А" в разложении функции (1—2Az + A2) v по степеням А (см. также п. 10.9):

(l-2fc + A*r= S С;(2)Л», |*| <|*+Kii=Il- (1)

я=0

Так как

(! — 2Аг + AV = (I — А)-2* Il + 2А (1 — kr* (1 — 2)р = и

us а _ йч-21-sv _ У Г(т+2» + 2у)*ч*

~ Zi т\ Г (2s + 2v) '

m=o

то коэффициент при An в разложении (1) имеет вид

« (-iyr(v+/)r(n + 2v+/)(I_-І)'

<?„(*)= Zi /ІГ(ч)Г(2/ + 2і>)(я — 01 W

і—о

и из 1.2(3), 1.20(5) и 2.1(2) получаем, что

^ — *+Ь т-т).

я=0, 1, 2, ...

И» (3) и 3.2(7) следует

•r(« + 2v)r(v+ l* L_v

ад=2 2 W(,+i) <*-!>4 Ч+,-*«- (4>

(3) !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З

Из (4) и 3.(22) вытекает

W- '-"'^f+1' '+'+Ii Ii '•)¦ «

Из (3), (5) и (6) имеем

^(1) = (-1)^-1) = ??!!. - (7)

Из 3.2(23) получаем

—йГгм—7A-2"' T T' l~w-n'z ')> (*)

_ Л

С» __I- У (-1Г1> + д-т)

c»l«)-r(v) ml (я — 2яі)! (гг} • W

TO = O

Таким образом, доказано, что

С' № -П- Л* ІЇ1 - Л +' " "^l (-2)"Г(, + п)Г(2,+п)

Ч,(*)-(1 г) ^»10—«) J nl Г (м) Г (2v + 2л) • (10)

Из (9) следует

Тригонометрическое разложение для Cn (cos<p) может быть получено следующим образом. Запишем тождество

(1— 2А cos <р-f As)"4 = (1 — Л<?гї)-'(1 — Ae^iT)-' (12)

и разложим как левую часть, так и оба сомножителя справа по степеням Д. Тогда получим

oo w

S-=O I=-O

Сравнивкя коэффициенты при А" в обеих частях, получаем LK^cos,)=

т =O ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА

179

или ..



у [Г О")]*С* (cos <р) = 2 Т<т^Цп-ш Vn-7m^ <13>

IB = O

Если я — четное число, то в этой формуле надо взять лишь половину последнего члена (соответствующего т = . Из формулы (13) следует

IimГ (V)С;(cos <р) = ~ cos (я?), л = 1, 2, 3, ... (14)

V-^O п

Из тождества

I I IeiV er*?

I e'v ег*г \

V1 — Ле''-P 1 — he~lf)

1—2А cos <р Л® sin 9 \\-he* получаем

. , sin [(я + l)<p] /1C4

Ca(cos <?) ==-lvsin^ . (15)

Для того чтобы получить соотношения ортогональности для многочленов, Гегенбауэра

¦

[ CI(AT)с;(лт)(1—лт8) 2 dx = 0, пфг; (16)

Ji

перепишем интеграл в левой части по формуле (10) в виде

(-2)"1> + Я)Г(2у + Я) Г d^ _ »+V -4

л! Г (V) Г (2v +2«) J r { ' ^u ' '

Интегрируя л раз по частям и используя равенство (11), получим (16) и (17). Из равенств (16) и (17) получаем, поскольку CJ(AT) = I,

[0, л= 1,2,3,...,

J C^cos ?) (sin «Г(2у+1) (18)

о п I 2" [Г(1 + V)]2' " ISO ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА |Гл. З

Теорема сложения для функций С* (г) была установлена Гегенбауэром (Gegetibauer, 1893, стр. 942)

[W Ся' Izzl - (Z' - Ifyz* - 1)4¦ cos <?] =

J^gir(/i+2v+/)[r(v+/)]-2l(2v+2/-l)r(/i-/+l)j-i' (,9)

Из (18) и (19) следует, что *

j Cn (cos 4> сое ф'+ sin ф shi 4»' сое?) (sin f)1*-1 dif=

= 2s—л! г (2v+ад) Сп (cos ^ Сп (cos 4'')- Re > 0. (20)

(О дальнейших интегральных формулах см. Ватсон, 1949, стр. 412—414.)

3.15.2. Функции Гегенбауэра. Из 2.1(1) видно, что функция (3), где л заменено на а (а произвольно), является решением дифференциального уравнения

(2а— 1)а>"4-(2ч-И) г®' — a (a + 2v) г»=0. (21)

Таким образом, можно определить функции Гегенбауэра для любого (в том числе и комплексного) значения а с помощью формул (3) или (4), где л заменено на а.

Из (4), 3.7(6), 3.7(8) и 3.7(34) вытекает соответственно, что
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed