Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
[Гл. 3
3.14. Функции конуса Дифференциальное уравнение
ІР—вещественный параметр) является частным случаем уравнения 3.2(1),
где V=— -І. + 1р.
Решениями уравнения (1) являются
Р* і (z) и Q^ , (z). (2)
-2 + Ч> - 2 + (Р
Функциями конуса называют решения уравнении (і)лри вещественных значениях аргумента, меньших по модулю, чем 1,
P11 , (cosfl) и О* , (cosfl). (8)
Основные свойства этих функций могут быть получены из общих свойств функций Pf(COSfl) и Qf (cosfl). Например, нз 3.5(7) н 3.5(8) следует P і (cosfl) —
'¦+(і)" к+й'Ік+вЛ
= 1+ —(sine)2 + '--Ш(Лв). + ..., (4)
P I (cosfl) = 2
0^fl<5;
, 1 + jg+u( Ц)* 4-^ + + * ( ff + ... , (5)
О <? 0 < я.
Отсюда видно, что функции конуса первого вида положительны при вещественных значеннях р. Специальным случаем формулы (5) является формула
P_ Ucosfl) = ?A:(sin|y,
Л—полный эллиптический интеграл первого рода (см. также Darling, 1923; Lowry, 1926; Airey1 1935).
Формулы, аналої ичные соответственно формуле Неймана 3.6(29) и формуле Гейне 3.10(9) были установлены Мелером (Mehler, 1881, стр. 193):
СО
%Р , (- дг)=сЬ(ря) С —Цр , (V)dv, х<1; (6)
(Jf)P , ^x)dp. (7)Ї.І51 ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА \ТГ
Эти формулы являются частным случаем следующей формулы обращения (Mehler, 1881, стр. 192; В. А. Фок, 1943):
/(*) = Mh(^)T P1 (x)g (X) dx, (S)
I JT^
g (Х)=Л P , (x)f(t)dt. (»>
0 - 2 + "
Все другие свойства и представления функций конуса вытекают из формул предыдущих пуиктсш этой главы. См. также Mehler 1881 и Neumann, 1881 О теореме р-азиийсення, содержащей функции конуса, см. Baner-jee, 1938, стр. 30.
3.15. Функции Гегенбауэра
3.15.1. Многочлены Гегенбауэра. Многочлены Гегенбауэра С* (г) при целых значениях п определяются как коэффициенты при А" в разложении функции (1—2Az + A2) v по степеням А (см. также п. 10.9):
(l-2fc + A*r= S С;(2)Л», |*| <|*+Kii=Il- (1)
я=0
Так как
(! — 2Аг + AV = (I — А)-2* Il + 2А (1 — kr* (1 — 2)р = и
us а _ йч-21-sv _ У Г(т+2» + 2у)*ч*
~ Zi т\ Г (2s + 2v) '
m=o
то коэффициент при An в разложении (1) имеет вид
« (-iyr(v+/)r(n + 2v+/)(I_-І)'
<?„(*)= Zi /ІГ(ч)Г(2/ + 2і>)(я — 01 W
і—о
и из 1.2(3), 1.20(5) и 2.1(2) получаем, что
^ — *+Ь т-т).
я=0, 1, 2, ...
И» (3) и 3.2(7) следует
•r(« + 2v)r(v+ l* L_v
ад=2 2 W(,+i) <*-!>4 Ч+,-*«- (4>
(3)!¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З
Из (4) и 3.(22) вытекает
W- '-"'^f+1' '+'+Ii Ii '•)¦ «
Из (3), (5) и (6) имеем
^(1) = (-1)^-1) = ??!!. - (7)
Из 3.2(23) получаем
—йГгм—7A-2"' T T' l~w-n'z ')> (*)
_ Л
С» __I- У (-1Г1> + д-т)
c»l«)-r(v) ml (я — 2яі)! (гг} • W
TO = O
Таким образом, доказано, что
С' № -П- Л* ІЇ1 - Л +' " "^l (-2)"Г(, + п)Г(2,+п)
Ч,(*)-(1 г) ^»10—«) J nl Г (м) Г (2v + 2л) • (10)
Из (9) следует
Тригонометрическое разложение для Cn (cos<p) может быть получено следующим образом. Запишем тождество
(1— 2А cos <р-f As)"4 = (1 — Л<?гї)-'(1 — Ae^iT)-' (12)
и разложим как левую часть, так и оба сомножителя справа по степеням Д. Тогда получим
oo w
S-=O I=-O
Сравнивкя коэффициенты при А" в обеих частях, получаем LK^cos,)=
т =OФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА
179
или ..
у [Г О")]*С* (cos <р) = 2 Т<т^Цп-ш Vn-7m^ <13>
IB = O
Если я — четное число, то в этой формуле надо взять лишь половину последнего члена (соответствующего т = . Из формулы (13) следует
IimГ (V)С;(cos <р) = ~ cos (я?), л = 1, 2, 3, ... (14)
V-^O п
Из тождества
I I IeiV er*?
I e'v ег*г \
V1 — Ле''-P 1 — he~lf)
1—2А cos <р Л® sin 9 \\-he* получаем
. , sin [(я + l)<p] /1C4
Ca(cos <?) ==-lvsin^ . (15)
Для того чтобы получить соотношения ортогональности для многочленов, Гегенбауэра
¦
[ CI(AT)с;(лт)(1—лт8) 2 dx = 0, пфг; (16)
Ji
перепишем интеграл в левой части по формуле (10) в виде
(-2)"1> + Я)Г(2у + Я) Г d^ _ »+V -4
л! Г (V) Г (2v +2«) J r { ' ^u ' '
Интегрируя л раз по частям и используя равенство (11), получим (16) и (17). Из равенств (16) и (17) получаем, поскольку CJ(AT) = I,
[0, л= 1,2,3,...,
J C^cos ?) (sin «Г(2у+1) (18)
о п I 2" [Г(1 + V)]2' "ISO ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА |Гл. З
Теорема сложения для функций С* (г) была установлена Гегенбауэром (Gegetibauer, 1893, стр. 942)
[W Ся' Izzl - (Z' - Ifyz* - 1)4¦ cos <?] =
J^gir(/i+2v+/)[r(v+/)]-2l(2v+2/-l)r(/i-/+l)j-i' (,9)
Из (18) и (19) следует, что *
j Cn (cos 4> сое ф'+ sin ф shi 4»' сое?) (sin f)1*-1 dif=
= 2s—л! г (2v+ад) Сп (cos ^ Сп (cos 4'')- Re > 0. (20)
(О дальнейших интегральных формулах см. Ватсон, 1949, стр. 412—414.)
3.15.2. Функции Гегенбауэра. Из 2.1(1) видно, что функция (3), где л заменено на а (а произвольно), является решением дифференциального уравнения
(2а— 1)а>"4-(2ч-И) г®' — a (a + 2v) г»=0. (21)
Таким образом, можно определить функции Гегенбауэра для любого (в том числе и комплексного) значения а с помощью формул (3) или (4), где л заменено на а.
Из (4), 3.7(6), 3.7(8) и 3.7(34) вытекает соответственно, что