Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
формул п. 3.9,2.
со ;
J р, (*) Qg (X) dx = ^ (g'+ ч + 1) , Re а > Re V > 0; (4)
F О WO ^ Jx- »(« + О—»Cv + I) «V
\ QvWQ0(*)- (a_v)(0 + v+I)' » (»)
Re(o+v)>—1, o + v + 1^0, v, o^-l, -2,-3,...;
00 ,
Ij [Qv Ml* dx = (2v + 1)-' Ф' (v + 1), Re V > - і; (в)
1
1 P11 (х)Рв (X) dx =
_ 2 {2 sin (я») sin (ю) №(•*+!) — Ф (g + 01 + * Sjn —J7t
— ita(o — v)(3 + v+ 1) ' {)
В частности, при ч = п, i = m (n и m — целые) j
і ' ''
S Р„ (х) Pm (х) rfx = 0; (8) -1
1 s
_ 2 (sin -I- ф' (v + 1)1; (9)
f [Pv(X)PrfX-- ' ..
1
f [Ря WJ2 dx --Ц—, Л = O1 1, 2, ... • (ltn
-T "+2
і
SjQvWQ ,(X)dx =
ІФ (v+ 1) — ф(о + 1)] [1 +cos (aic)cos (Vit)] — sin (vie — вя)
T («-»>(« + * + !) ; •
o + v + li^O, V, 1, -2, —З,...} .,
l
J [Q, (AT)]® dx = -fjTqrf IlT— Ф'С» + 1H1 + (cos v«)2]}, (12)
^ V^-I1 —2, -3, ...;
^ P, (x) Q0 (x) dx =
2
, 1 —cos(oit — V7t)--— sin (itv) cos (ira) + 1) — ф(о + 1)]
= ______ , (13)
Rev>0, Re«>0, o^fcv; 172 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [ГЛ.3 1
^ Pv(X)Qv(JC)dx = ^pq71Jsin<2v*)«|/(v + l), Re v>0; (И) і
jp, (*) Р. (*)<** =
2 [л sin а»)cos (1 -1 sin cos(i а*)]
— „(<r_v)(a + v + l) : (15)
Со (X)O (X)dx= ^ + \ W^X) Wa(X) ах— (o_v)(o+v + 1)
« [(л -1) Sin (1 „ +1 у,) - (л + j-) sin (1« -1 „)]
2(а —v)(c + v + l) ' (lt>)
Re V > 0, Re о > 0;
COS I 4- MIC — і OIC) — А
С "'(і'"~2"Г'
J Р, (A Q. W «* - А (а — м) (в ч -f- 1) ¦ <17>
Re а > 0, Re V > 0.
В формулах (15) — (17) использовано обозначение
л '(WM'+t)
Если в формуле (I) fx = в = т, ч = п,я=-1(1, т, п—катуральные числа), то получаем из 3.9 (8), 3.9(10) и 3.4(19)
J1QffWFTW* =(-1Г «l-Jr+tlU-U • (18)
Аналогично, если т, л, ', k — неотрицательные целые числа, то из (1) следует
і
J (X) Pf (X) dx = 0, 1фп\ (19)
-1
P Р" (АГ) Р* (AT)
\ 1-х" dx = 0' k^m' (20) 3.13] ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 178
Я
1
CtP"<*)]8 <» + *>' (22)
I
Далее, имеем
1
P.,*)*-**= , їм)
Это равенство может быть доказано путем подстановки 3.2(3) и 2.1 (2) и почленного интегрирования. Применяя 1.5(1) и 2.1(23), иаходин сначала, что
і
J Pv (AT)Jf ^ = (o + ir1/?(-v, v+1; 0 + 2; -і) = О
=2--»(o+lr'A-(® + v+2, a-v+1; 0 + 2; у],
откуда соотношение (23) вытекает в силу формулы 2.8(50). Берне (Barnes, 1908, стр. 183 и далее) доказал, что
¦Xа) a Pj (х) dx =
Re (J. < I, Re а > — 1;
1 т
(_ іуя 2»+» Г(1 — т + v) IX« (I — XiP Pf (лг) dx =
... г(г + 1)г(' + 1)г('+»+')
Re о > — 1, т — натуральное; Re < О, V +1» — натуральное. JJf ' і > \ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА , ГГл, 3.
Приведем еще несколько интегралов, содержащих функции Лежандра и тригонометрические функции (MacRobert1 1940, стр. 95, 96, 1947, стр. Зоб, 367) « :
J(sint)a~l Р~ "•(coat)dt =
Мі + їМт-ї)
• »(т+і + іМї-т)г№+і+')г(*-і+т)'
Re (о ± (і) > о,
ц Re(a+fl)>0, Re(V — о + 2)>0, Re(l—о—М)>0;
OO
Г(і+ T-+ (Л«" <№¦«<«=
Re (О ± ft) > 0, Re (v — о + 2) > 0. Kp«JMe того (Shabde, 1945, стр 51), имеем [Г (V + 1) Г (,«+ L)f $ Р, (X) P11 (X) (1 + xy^dx =
= Re(v + fl+l)>0 (30)
Другие интегралы, содержащие функции Лежандра, см в гл 7, а также в работах Bailey, 1931, стр 187 Baneijee, 1940, стр 25 Barnes, 1908, стр 179 -204, В N Во=>е, 1944, стр 125, S К Bose1 1946, стр 177, Dhar, Shabde, 1932, стр 177, MacRobert, 1436, стр 203, 1940, стр 95, 1947, стр 336, 367, Meijer, 1939, стр 930, Prasad, 1930, стр 33, Shabde, 1934, стр 41, Sircar, 1927, стр 244 Об интегралах по индексам см MacRobert, 1934, 1935
3.13. Функции кольца или тороидальные функции
Функции кольца илн тороидальные функции возникают, когда уравнение Лапласа AV=O преобразуют к тороидальным координатам (і), в, <р)
_с sh т|costp _с sh щ sin <р _ с sin 0 .
Х chi)—cos0* ^ chij— cos в' ch ij—cos в" ' ' З 131
ФУНКЦИИ КОЛЬЦА ИЛИ ТОРОИДАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
17?
Подстановка s = с1п) и 1/ = (ch ц—cos 9) v (s, б, <р) преобразует уравне-, ние AK=O в уравнение
д_{( г noo\ , , о j__1_^v
' ds) + 4 + s2—l дч*'
ds
(2)
Если о = O1 (s) Vi (S)Oi (?)> то получаем следующее дифференциальное уравнение для O1'
о-'Ф-ьф+к.-йК)-^!».-..
(3)
где V и (j. — параметры разделения переменных В соответствии с 32(1), решениями уравнения (3) являются
Vt =
(S)
pp.
V 2
О* ,(«)
P» ,(Ch1)) V"2
Q* ,(Ch1)
(4)
Поведение этих решений при больших значениях і) следует из 3 2(28) и 3.2(45);
Г(1 —p)J* ,(Ch1) =
= 2*(1— е-**Г>-е ^+1) V^i--р, у + v — (І, 1 — 2ц; 1— e-'l],
Г(1 +v)Q* ,(Ch4) =
= V пе'^Т (1 + , +ц)(1 F(j + v., y + ^+ft I +4, г«*}.
Специальными случаями решений (4) являются
(5)
(6)
2J(th-
Р_ і (Chii) = 2
itch
1 '
(7)
_ ч
О ,(Ch4) = & 2 К (е-% 2
9 а _
P1 (ch 4) = 4^(/ 1-е-»Ч);
(8)
(9)
К и E—полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно (см также Darling, 1923, Lowrv, 1926, Airey, 1935)
Все другие формулы, свойства и представления для тороидальных функций вытекают из ранее полученных формут этой главы О теореме разложения, содержащей тороидальные функции, см Вапег4ее, 1938; Il 176
