Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать также, что
Jk(x,y,y',...,y^) = l(lD-^)ky, к = 1,2,..., (11)
являются дифференциальными инвариантами (1) порядка к и, следовательно, функционально независимыми решениями линейного уравнения в частных производных
XiL11 - Ф,и,=, .Ч.Х + Ьф,^ - "./"I- (W
к=1 у
где X есть гс-е продолжение генератора X, а (12) представляет собой опреть
деляющее уравнение Ли1. •
Таким образом, метод автономизации можно рассматривать как конструктивную альтернативу (или как дополнение) к аппарату определяющих уравнений С. Ли в классе преобразований вида (3), т. к. он приводит к тем же результатам, что и теория Ли, но позволяет оперировать только с ОДУ. Он даёт возможность найти подалгебру алгебры Ли точечных симметрии, допускаемых уравнением (1) и имеющих вид
X = a(x)?+?(x)y-^, (13)
а в некоторых случаях
X = a(x)?+(?(x)y+1(x))-^. (13і)
Дифференциальные инварианты Jj1 отличаются от дифференциальных инвариантов, находимых классическим методом С. Ли.
1. Нелинейные ОДУ с приводимой линейной частью 207
Мы будем, как правило, рассматривать нелинейные уравнения порядка п ^ 2, но начнем с уравнения первого порядка.
Пример 1. Рассмотрим однородное уравнение 1-го порядка
У'+F(I)=O. (14)
Его линейная часть есть Ly = у'. Уравнение у' = 0 имеет общее решение у = с, которое может быть представлено в форме
у = с = cwexp(r J udx).
Сравнивая F(y/x) с (4), имеем uv = 1. Примем v = х,и = x~l. Решение у = схещ>(— J dx/x) = с. Заменой у = xz, dt = 1/xdx уравнение (14) сводится к виду (автономному и интегрируемому) і — z + F(z) = 0 и, кроме того, допускает элементарные решения у = рх, р — F(p) = 0. Теорема 3. Если линейная часть Ln(y) уравнения
і
Nn(Jj) = Ln(у) + ]Tis(x)ym» = F(x), 1 < mi < m2 < ... < mi (15)
S=I
приводима преобразованием (3) и при этом выполняются условия
Psun = fs(x)vm'-\ ps = const, (16)
mo l) уравнение (15) преобразуется в уравнение
і
Pn(z(t)) = Mn(z(t)) + Y1P»*™* = v-1(x(t))u-n(x(t))F(x(t)); (17)
S=I
2) уравнение
і
Nn(y) = Ln(y) + ]Г fs(x)ym- = 0, (18)
S = I
соответствующее (15), допускает решения вида (5), где v находится по формулам (8), (9), а также является решением линейного уравнения (9'), а р удовлетворяет алгебраическому уравнению
і
ьор + Y,p*pm"=0- (19)
S=I
208
Глава 4
• Теорему 3 можно доказать непосредственно, как и теорему 1. • Сейчас же будет показано, что уравнение (15) при выполнении условий (16) относится к классу (1). Для этого необходимо и достаточно, чтобы нелинейная часть уравнения (15) могла быть преобразована в нелинейную часть уравнения (1), а именно в (4). Действительно, при условиях (16) имеем
і і і
S = I S = I S=I
Заметим, что при I ^ 2 из соотношений (16) легко получить соотношения между самими функциями fs(x), но выводом их здесь заниматься не будем.
ТЕСТ АВТОНОМИЗАЦИИ. 1°. С помощью критерия приводимости (теорема 3.8.1) проверить, является ли приводимым линейное уравнение Lny = 0, присоединенное к нелинейному уравнению (1).
2°. Если окажется уравнение Lny = 0 приводимым (а для п = 2 это всегда выполняется), то нужно представить его общее решение согласно предложению 3.9.1, т.е. в виде формул (3.9.2) и (или) (3.9.3).
3°. Проверить, можно ли неавтономность нелинейного члена Ф(х,у,у',... , j/m)) «уравновесить» с помощью «веса» v(x)un(x) и представить его в форме (4).
Пример 2. Рассмотрим частный вид уравнения Абеля 1-го рода
у' + ay2 + bxy3 = 0. (20)
Так как уравнение (20) принадлежит к классу (18), то должны выполняться условия (16), которые примут вид
U = V, U = XV2 , (16')
откуда и = 1/х, и = 1/х. Уравнение (20) подстановкой у = 1/xz, dt = = 1 jxdx приводится к автономному виду і — z + az2 + bz3 = 0 и имеет также инвариантное решение у = 1 /хр, где bp2 + ар — 1 = 0. Пример 3.
у" + ^d) = 0- (21)
Здесь Ly = у". Общее решение уравнения у" = 0 имеет вид у = с\ + с2х. Его можно представить либо как у = v(c.\ exp(ri j udx)+c2 exp(r2 J udx)), либо как у = v(c\ + c2 j udx). При этом должно выполняться условие vu2 = = х~3. Положив v = x, и = х~2, получим, что (21) преобразованием у = = xz, dt = x~2dx приводится к виду z +F(z) = 0 и имеет элементарное решение у = рх, где F(p) = 0.
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена —Фаулера 209 Пример 4. (Олвер П. [196], с. 194-195):
х2у"+ху'2 = уу'. (22)
Присоединенное уравнение у" = 0 имеет общее решение у = с\ + с2х. Это решение можно представить также в виде у = хк[с\х~к + с2х~к+1). Преобразованием у = xkz, dt = x~ld>x (22) приводится к виду
xk~2[z +(2k-l)z + k(k-l)z]+x2k-3(z + kz)2 = x2k-3z{z + kz). (23)
Чтобы (23) стало автономным уравнением, необходимо и достаточно принять к — 2 = 2к — 3, откуда к = 1. Итак, пришли к следующему уравнению
z +i + (i + z)2 = 2:(і + z), или z +і2 + (1 + z)z = 0. (24)
Уравнение (24) легко интегрируется. Отметим, что преобразованию KJI у = = xz, dt = x~xdx соответствует группа подобия х\ = еах, у\ = еау с В В
генератором X = х-^- +у-^-. Уравнение (22) есть частный случай уравнения вида
