Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
і
L = Y\ (D + (b — 1 + s)a — r71e~ax) (некоммутативная), или
200
Глава З
Таблица 21
Tm:
Преобразование
Выражнис для полуинварианта
Факторизация
Л
у = схр (— / Ci1 dx)z . dt = dx
A2 = "2 — tti — аі = fonst = B2
П (D + ttl - i~fr)y = 0, k = l
rj, = const
Ii
U = z. dt = (fyа n dX
, 3 „ 2/n 3 .
п №-^^--*x
X 'ущ?)У = 0
В
U = z.
dt = exp ^ -- j a^d^j dr
('2 = u1 exP ( 1 ^ n j + (3» - - 2) 2 2(2 - „) ,
+ 3(1-„)2 "% 3(1-,.)°1
і I 2(1 - fc)
-rfc exp ^^-2— | O1^J ?y = 0
г
у = exp (— / aidx)z. dt = VjA~^dn-
1 < 2,,-1 / < \ ^ 2„ A„ 4„2 i A„ i +
+ 7T+-T13^?/" = TTTT^
1 і, і A'
д
У = n п ™ exP (— / n dt = Xy-^dv
3 „ 2/n 3 .
ru_„№ + »i + "+2,72*
H
1 —fi
У = 71 exp (— j a ^ dir) z. dt = \/A rl dx
2n An 4„2 ^An j + + ^f1B2A2J" = ^A2
^ + - + ^?^-
ж
1—71
У = Pn2n <'XP (— I a±dx)z.
dt = ^iJ1PrI dя' а>п = Pfi + 4n
і p'. 2„ -1 / p'„ N2
2„ Pn 4„2 i p„ i "+-
+ 7ГТТВ2Р'/" = TTTT-42
— rk 1Vvn )y = 0
3
у = охр (— f P1dx)z.
dt = ^TP^dv nl = Pl + 11
! л'/ 2„ + i /^r +
2n Pn 4„2 i Pn i +
+ 1ГТТВ2Рп/п = тг + т-42
1 fc 1
п (o + P1--— 7+-
-,•fc VPW )v = а
Примечания к гл. 3
1. Глобальные преобразования ЛОДУ п-го порядка рассмотрены в (F. Neuman [373]). А некоторые свойства глобального характера были установлены также в работах (Азбелев, Цалюк [3], Gregus [316], Кигурадзе и Чантурия [145]).
2. Семиинварианты ЛОДУ п-го порядка относительно преобразования независимой переменной рассмотрены различными путями в (TlejoBJih [203]), а позднее, исходя из работы (Беркович [21]). также в (Breuer, Gottlieb [280]).
3. В 1884 г. Альфан (Halphen [319, 320]) нашел абсолютные инварианты линейных уравнений 3-го и 4-го порядков и высказал в общих чертах соображения по поводу нахождения абсолютных инвариантов и построения канонических форм уравнений произвольного порядка с помощью методов проективной дифференциальной геометрии. Следует заметить, что эти идеи Альфана до сих пор не реализованы. (Автор этой работы пошел своим путем). Альфан также показал, что интегрируемые типы ЛОДУ можно получить, исходя из алгебраических соотношений между абсолютными инвариантами. Им было сделано замечательное наблюдение, что если абсолютные инварианты параметризуют эллиптическую кривую, то возникает интегрируемый класс линейных уравнений с двоякопериодическими коэффициентами. Как выяснилось, один из абсолютных инвариантов уравнений 3-го порядка удовлетворяет уравнению СКдФ.
4. Известна глубокая связь теории солитонов со спектральной теорией ОЛДО 2-го порядка Шрёдингера (Штурма - Лиувилля) (см. Gardner, Green, Kruskal, Miura [313]). А связь между уравнением КдФ и антисамосопряженным (ко со симметрическим) дифференциальным оператором 3-го порядка можно обнаружить в работах (Лаке [160], Марченко [175]).
5. Связь теории преобразований линейных уравнений 3-го порядка с нелинейным уравнением СКдФ, за исключением классической работы Альфана (Halphen [319]), вновь отмечалась, по-видимому, впервые в (Беркович, Цирулик [82], см. также Беркович [55]). В [82], кроме того, одновременно и независимо от работы (Кричевер [156]) исследовалось кольцо коммутативных дифференциальных операторов. Но упомянутый результат Альфана, а также более поздний результат об условиях коммутативности операторов 2-го и 3-го порядков (см. Burchnall, Chaundy [287]), были забыты (см. вве-
202
Примечания к гл. 3
дение к обзору (Дубровин [118])). Отметим, что и в работе [287] не было ссылки на [319].
6. Задача Альфана об эквивалентности линейных уравнений порядка п ^ 3 рассматривалась в работе (Беркович [41]). Приводимые линейные уравнения 3-го порядка, а также более высоких порядков рассматривались соответственно в работах (Беркович [42, 45]). Некоторые линейные самосопряжённые и приводимые уравнения рассматривались в работах (Беркович, Розов, Эйшинский [80], Королёв [154, 155]). Коммутационные представления для нестационарных уравнений КдФ (Korteveg, de Vries [333]), а также для эволюционных уравнений, являющихся аналогами КдФ высшего порядка, даны в работах (Лаке [160], Новиков [190]).
7. Как показывают теоремы 9.1, 9.2, принципами нелинейной суперпозиции могут обладать как всё множество решений нелинейного ОДУ, так и некоторое его подмножество. В этих случаях указанные решения нелинейного ОДУ нредставимы в виде нелинейных функций от общих решений присоединенного линейного уравнения.
Глава 4 Метод автономизации
«Два предмета: теоретическая физика и интегрирование дифференциальных уравнений немыслимы один без другого, они всегда развивались совместно и успехи одного отражались на другом».
В. П. Ермаков
Интегрирование дифференциальных уравнений движения... представляет собою главную и, возможно, единственную проблему математической динамики».
