Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Лемма \.Для эквивалентности уравнений (1.2) и (1.3) необходимо и достаточно, чтобы была совместна переопределенная система нелинейных уравнений относительно t(x):
t(4) at"t"'at —;--D—---h O
r/3
,12
П + 1
12 -a/
-A2
n + l t' n + l
4 B*t*
n + l
-A,
(61) (62)
t(5) 1QJ4h" b(n + 2i)t'"2 | 5(n + 59) t"4"' 5(гг + 59)і"4
18
,a
5(n + ll)t»2 10(n + 5)t»> —A2-—--— + A2
n + l f-
./3
20 _M?
8 10
3(гг + 1) t' n + l U1 3(гг + 1)
f4
10
3(n + l)
-AA
и т.д.,
(63
n-l.
(n)
E
k=2
Ak
n-l.
(n-fc)
n+l
Bn(t') 2 =o. (6"-1)
• Следует из дифференциального аналога формул Виета, теоремы 1, предложений 1 и 2. •
Лемма 2. Для эквивалентности уравнений (1.2) и (1.3) необходимо и достаточно, чтобы была совместна переопределенная система нелинейных уравнений относительно v(x) :
n-l V
-1 _ 1 —
3 —-+A2V - 3^-4S2W™"1 = 0,
п + 1
п + 1
(71)
6. Инварианты и канонические формы уравнений п-го порядка 177 ш 0п-3у'у" (п-2)(п-3),/з 12
« -3^T— + 2 („_1)2 ^2+ЇГ + ї^« +
+ ^-^^«-2^-1^^=0, (72)
гг + 1 п + 1
(4) ,п-4цУ" 22(п-4)„»2 2 (49^-125)(^-4)^,/ " п-1 * 9(гг-1) w 9 -1)2 „2
(49гг - 125)(тг - 2)(гг - 4) v<± Щп - 4)(гг + 7) vn
9(тг-1)3 ^3"" 3(гг-1)(гг + 1) 2~ +
п—9
+ ^^U2«" + Aa3«' - ^?«^ + t^A4« = 0, (73) Згг + 1 гг + 1 Зп + 1 Згг + 1
и т.д.,
П , ч п+1
+ 53 u) AkV{n-k) - Bn«-"31 = 0. (7"-1)
Уравнение (7™-1), обобщающее уравнение Ермакова, было рассмотрено автором в [25] (см. также гл. 4).
Лемма Ъ.Для эквивалентности (1.2) и (1.3) необходимо и достаточно, чтобы была совместна переопределенная система нелинейных уравнений относительно Т(х) :
T' -±T2 + -^-B2t'2 = -^-А2, (81)
2 гг + 1 гг+1
Т" - 3TT' + T3 + -^-A2T + ~^-B3t'3 = —fr^3. (82) гг + 1 гг + 1 гг + 1
j1"' _ 6ТТ" - 5гг + 61 у/2 _|_ 5гг + 223у2у/ _ 5гг + 223^4 _|_ 5A2 х
18 18 72 3(гг+1)'
х[2(гг + 5)Т'-(гг + 23)Т2] + 20 АзТ+_^Б4^ = _Ж_А4)
гг+1 3(гг + 1) 3(гг + 1)
и т. д.,
п-1
{D _ n^lT)n-iT + у (Л Ak(D - _-1тлп-і-кт + ^Ml = 2A^ 2 ^\к) 2 гг — 1 гг — 1
к=2
(8™-1)
• Следует из леммы 1 при помощи подстановки T = t"/t'. •
178
Глава З
Теорема 2 (Berkovich [252,257]). Для эквивалентности (1.2) и (1.3)
необходимо и достаточно, чтобы между инвариантами I0, Jn^(A), Jn)k(B) выполнялись (п — 2) соотношения:
I0(A) = U3I0(B), (91)
Jn^1(A) = иА1пЛ(В), (92)
Jn,2(A) =u5Jn,2(B), (93)
и т. д.,
Jn^3(A) =unJn,n.3(B), (T-2)
где и(х) находится из уравнения (б1) в силу равенства t' = и(х); а псевдоинварианты Jn^k имеют выражения
TJA)-A, 9 A' a-А" 3(5гг + 7) 2 Jn,l(A) -A1-ZA3+5A2- + ^ A2,
JnAA) = A5 - §А4 + _ _ A2I0(A)
и т. д.
• Доказательство может быть получено на основании любой из лемм 1-3 путем исключения зависимых переменных t, V или Т. Соотношения (9), как и сами выражения для псевдоинвариантов In^ и относительного инварианта Лагерра I0, являются условиями совместности переопределенных нелинейных систем (6)-(8). •
6.3. Приведенная и каноническая формы линейных уравнений п-го порядка
Построим канонические формы Альфана и Форсайта. Основу построения составит введенная автором приведенная форма, причем между формами Альфана и Форсайта (последние называют обычно формами Лагерра-Форсайта) существует взаимнооднозначное соответствие. Схематично процесс перехода от исходного уравнения (1.2), или (L), к приведенной форме (R) и далее к формам Альфана (H) либо Форсайта (F) можно представить так: (F) <— (R) —> (H).
Приведенной формой для уравнения (1.2) будем называть уравнение
z(")(t)+^^Jrfcz("-fc)(t)=0, (R)
6. Инварианты и канонические формы уравнений п-го порядка
179
где
, _2 П + 1 // _з . П + 1 /2 -4 3..,-/-4-3
r2 = г = A2U--— и и Ч--—и и , г3 = -г + I0(A)U ,
Г4 = |r + Ф^г2 - 6«-Vt0(A) + J„,lM-4, о 5(п + 1)
(10)
и т.д.
(І?) получается из (5), в которое подставлены формулы (10). Теорема 3 (классификационная). Множество уравнений (1.2) распадается на п — 1 классов (табл. 18):
Таблица 18
Класс
Инварианты
Преобразование
п-1
Каноническая
У =
itj, 2 z, dt = Ufcdx
форма Альфана
Io
/о 7^0
«о = V7To
Основная (TTo)1 зависит от п — 2 параметров
Yk,
= Tn1I = • ¦ • = = Тп,к-1 = 0
^k — к^\/In, к
Вырожденная (H к), зависит от
к = 1, п — 3
Tn1Zc = In,к Ф 0
п — к — 2 параметров
То = Tn1I = • ¦ • =
1 «п
-2 3 (W„-2\2
Простейшая
2 "п
-2 4 I Wn-2 I
^п-2
= Т„_„_з = 0
n+l
вырожденная (ТТ„_2) : z(") = о
Коэффициенты канонических форм являются абсолютными инвариан-
п-1
тами преобразования z = р, 2 ?,(1т = p,dt (см. формулу (4)); будем их называть абсолютными инвариантами Альфана.
Классы (Y0), (Yi)(Y11^2) описываются соответственно уравнениями
У(П) + E ( ? ) Wn-fe) = 0, I0 = A3- \А2 ф О,
