Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
^i
• Следует из леммы 6.2, табл. 5, гл. 2, совместности системы (7) и формулы связи между решениями уравнений (51) и (71):
п—1 /. /.
v(x) = \и(х)\ 2 ехр(— / cl1CIx) exp(±6i / w(ir). • (8)
9.2. Примеры приводимых уравнений п-го порядка
Пример 1 (тип A, L. Godeau, Sur ипе equation differentielle), Mathesis, 1955, 64, N 3-5):
П ,
П S
Ly = Y^i ) asxsy{n-^ = 0, a = const. Преобразование KJI: у = exp(—ax2/2)z, dt = dx. Факторизация:
n
L = EJ(^ + ах — ffe), где rfe — корни полинома Эрмита Hen(—j=) k=i
tfe„(r) = (-I)V-2J^e-2.
v{n) + fc ) AkV{n~k) - Bnv~~x = 0 (7"-1)
к=2 ^ '
является совместной и одновременно допускает семейства решений вида:
п—1 ^ bi n—1 bi
V1(X) = F(G1Y2 + P1Y1) 2 ^(G2Y2 + P2Y1) 2
(\ p/jv2,rvvx^T Л (n-l)bi , 2АУ2 + ДУЛ W2(XJ = F(AY2 +BY2Y1+CY1 ) 2 ехр ±-—=— arctg---- ;
196
Глава З
Пример 2 (тип Б): уравнение Эйлера
Ly = Y [к)ркХп~кУ{п~к) =0, Pk= const.
Преобразование КЛ: у = Z1 dt = x~xdx. Факторизации:
і
x~nL = Y\ [D + (к — 1 — Гк)х~1] (некоммутативная) или
к=п
L = Y\(xD — г к) (коммутативная),
к=1
где Гк удовлетворяют характеристическому уравнению
п п—тп
Y E ( I',)Pks(n - k,m)rm = О,
к
т=0 к=0 4
a s(n — к, гп) — числа Стерлинга 1-го рода.
Для получения указанного характеристического уравнения заметим, что предварительно приходим к алгебраическому уравнению
Y уАркг{г - I) ...(г-п + к + 1) = 0.
Введя обозначение (r)n = г (г — 1)... (г — п + 1) и воспользовавшись определением чисел Стирлинга 1-го рода (r)n = Y^n=O г™' пРиДём к упомянутому уравнению.
Пример 3 (тип В, (см. [50], гл. 3, с. 67, уравнение (1.7) при а = 0)):
Ly=Y. E Ьпг\1){ш-1)т-кХт+ку(к)=0, 6m=COnst, Ът = 1, (-I)0 = I,
' то
fc=0 тп=к
(m-l)ro_fc = 0, (/с = 0, та ^ 0). Преобразование КЛ: у = Z1 dt = x~2dx. Факторизации:
1 2(к — I) x~2nL = Y\ [D H--^--гкх~2] (некоммутативная), или
к=п
L = Y\(x2D — г к) (коммутативная).
к=1
9. Решения приводимых уравнений ... 197
к=п
(2ах + Ъ)(2к - п - І) і
D~\--^—ъ—;---гк~
2(ах2 + bx + с) ах2 + bx + с
где г к удовлетворяют уравнению г™ + 1 = 0.
G.-H.Halphen [319] и J.Fayet [304] различными путями показали, что двучленное уравнение
у(") +ап(х)у = 0, (п>2)
тогда и только тогда является приводимым, когда оно имеет вид (8.14).
Пример 6 (тип Е), ([50], гл. 3, уравнение (1.7) при т = п; см. также статью: Беркович Л. M., Квальвассер В. И. Об операторных тождествах
Пример 4 (тип Г, А. Бояджиев, Въерху диференциалното уравнение, Годишник инж.-стр. фак. стр. арх., хидр., кн. 1, с. 1-6.):
Ly = jz{%n-k{x)y^=0, h{x) = ^d, ad -be ф Q. k=o ^ '
Найдем An:
An=exp(Jhdx)YQtin-k[exp(-Jhdx)]W =f(cx+d)-n, / = const.
Преобразование КЛ: у = exp(— f hdx)z, dt = (cx + d)~1dx. Факторизация:
і
L=\{[D + h(x) + ((к - l)c - rk)(cx + d)-1}.
k=n
Пример 5 (тип Д, G.-H.Halphen [321]):
Ly = y{n) + (ax2 + bx + c)-ny = 0. (8.14)
Преобразование КЛ:
п-1
у = (ах2 + bx + с) 2 z, dt = (ах2 + bx + c)~1dx. Факторизация:
198
Глава З
и о некоторых линейных дифференциальных уравнениях высших порядков, интегрируемых в замкнутом виде, Изв. вузов. Матем., 1968, N 5, с. 3-16):
n\4a + n)xn_kDk + bx_2n
kJY{a + k)
k=0
где функция Y(x) определяется в виде
у = О, Ъ = const ф О,
го) = / e-Hx-ldt
Jo
и удовлетворяет функциональному уравнению Y(x + 1) = хТ(х). Значения Т(х) удовлетворяют соотношению Г(а + m) = (a + m — 1)... (а + + 1)аГ(а), аГ(п + 1) = п\.
Частный случай этого примера (при а = 1 — п) известен (Камке [139], N 5.10). Для нахождения преобразования KJI построим An. Имеем последовательно:
/п a1dx)=xa+n-1; An=X0+"-1^
.«+n-i г (п\ r(fl + nLn-fe nfe , л_-2п I k=o ^)Ца + кУ
-xn-kDk+bx-2n\x
f^o\k J Т(а + к) Т{2 - п - а + к)
Применим теперь одно комбинаторное тождество, называемое теоремой Вандермонда:
Е" /п\, , , ч {п\ Y(а + п) Y(2 — n — a)
„ (,)(««-')-(-»-* - E (fc)rUt)r(2-„-a.A) =0
Отсюда An = Ъх~2п. Преобразование КЛ: у = x~nz, dt = x~2dx. Факторизации:
L = Y[ \D + а ^ ^x—- — rk^~ j (некоммутативная), или
к=п ^ XJ
х2п>
1L = Y\{x2D + ах — Tk), (коммутативная),
к=1
где г к — корни характеристического уравнения г™ — b = 0.
9. Решения приводимых уравнений ... 199
enaxL = FJ(eaa:D + baeax - l/rs), (коммутативная), rs ф 0.
S = I
Пример 8 (тип 3), (см. пример 4). Так как h(x) = § H—^—, то
с с(сх + а)
можно принять р\(х) = Отсюда рп(х) ~ (сх + d)~n. Преобразование КЛ: у = ещ>(—^х)г, dt = (сх + d)~1dx. Факторизация:
к=п
D , а , (к-1)с-гк
с сх + d
Пример 7 (тип Ж), (см. Беркович Л. М. О некоторых классах разностных и дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем., 1970, N 7, с. 13-25):
п п—іп—г / \ / \
Ly = YZYZ YZ^n+<l [і) и) °n~fc&g~M" - k, q)an-k-lbq-le-kaxyil) = 0.
I = O к = 0 q = i v / v /
Примем рп = е~пах. Преобразование КЛ: у = e~baxz, dt = e~axdx. Факторизации:
