Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Беркович Л.М. -> "Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений" -> 58

Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений — Москва: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 464 c.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка): faktorizachiya-i-preobarazovaniya-differencial.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 130 >> Следующая


У. Гамильтон

К числу важнейших задач, которые выдвигает наука, относятся нестационарные задачи. Не подлежит сомнению, что их роль в современной науке и ее приложениях будет еще большей, если будут развиты методы редукции их к менее сложным стационарным задачам. Весьма эффективным является групповой анализ дифференциальных уравнений (Овсянников [194], Ибрагимов [133]). Однако трудности, возникающие при практическом применении алгоритма С. Ли для нахождения точечных симметрии, побуждают к поиску альтернативных подходов.

В настоящей главе представлен один из таких подходов — метод автономизации ОДУ — с использованием класса точечных преобразований КЛ. Хотя область его применения уже, чем у группового анализа, однако он является не менее эффективным средством исследования нестационарных задач в тех случаях, когда он применим. Естественное представление нелинейного уравнения в виде суммы линейного и нелинейного выражений является отличительной особенностью этого метода. При этом линейный член (в общем случае неавтономный) должен предполагаться приводимым, а нелинейный член, хотя и требует определенного согласования с линейным членом, но зато не требует его малости. При выполнении определенных соотношений между нелинейным и линейным членами удается преобразовывать данные неавтономные уравнения в автономные (хотя они и остаются нелинейными). Другой особенностью данного метода автономизации (MA)

204

Глава 4

является то, что, независимо от порядка исходного уравнения, для нахождения искомого преобразования KJI достаточно проинтегрировать лишь одно нелинейное ОДУ 2-го порядка. Кроме того, стало возможным установить явную структуру ОДУ, допускающих автономизацию. При этом были унифицированы известные и найдены новые признаки приведения к автономным уравнениям, а также новые признаки интегрируемости в замкнутом виде нелинейных уравнений.

Используя результаты по классификации линейных уравнений, дана классификация нелинейных уравнений со степенной нелинейностью.

1. Нелинейные ОДУ с приводимой линейной частью

Широкий класс уравнений, имеющих как теоретическое, так и прикладное значение, можно представить в форме

где Lny = 0 приводимо в смысле Альфана.

Теорема 1 (Беркович [26, 48]). Для приведения (1) к автономному виду

MnZ = E k)hz{n-k)(t) + aF(z, z(t),z^ (t)) = 0, (2)

преобразованием КЛ

у = v(x)z, dt = u(x)dx, и, V Є Cn(I), uv ф 0, х Є I = (а, Ь), (3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

п

к=0

Ф(х,у,у',...,у^)

= aunvF |,i(i/J

(4)

где a = const.

При этом (1) допускает частные решения вида

у = pv(x), bop + aF(p, 0,...,0) = 0.

(5)

• Проверяется непосредственно.*

1. Нелинейные ОДУ с приводимой линейной частью

205

Замечания 1. (О применении теоремы 1). Класс нелинейных уравнений (1) определяется классом линейных приводимых уравнений Ln(y) = = 0. Уравнение L2(y) = 0 с непрерывными коэффициентами, как известно, всегда приводимо (глава 2). Самосопряженное дифференциальное уравнение 3-го порядка также всегда приводимо. У уравнений порядка п ^ 3 приводимость в общем случае места не имеет (см. главу 3). При практическом применении теоремы 1 очень полезно, что для любой линейной части L2(y) = 0 (с непрерывными коэффициентами) можно найти весьма произвольную нелинейную часть (4). Построенное уравнение типа (1) в ряде случаев может служить математической моделью изучаемых явлений. Если задано конкретное уравнение типа (1), соответствующее которому уравнение Ln(y) = 0 интегрируемо в квадратурах, то для нахождения определенного преобразования типа (3) целесообразно исходить из формы общего решения приводимого уравнения (предложение 3.9.1). Так как общее решение приводимого уравнения может быть получено при различных видах пары функций и(х), v(x), то это позволяет к линейной части Ln(y) приписывать нелинейные добавки различного вида.

Наконец, отметим, что приводимое уравнение может и не быть интегрируемым в конечном виде через элементарные функции и квадратуры, но зато всегда интегрируемо в терминах присоединённого линейного уравнения второго порядка, на чем уже мы останавливались ранее (см. гл. 3, п. 9).

Теоретико-групповая интерпретация метода автономизации ОДУ означает, что (1) допускает однопараметрическую группу Ли с генератором

x = t(x,y)? + ф,у)-2-. (6)

Теорема 2. Генератор (6) для ОДУ (\), (4) имеет вид

и(х) ах u(x)v(x) ду где и(х) и v(x) удовлетворяют соответственно уравнениям

№~l (?)> + тпв^ = ЛіА"- <8>

V = \и\{1~п)/2ЄХу>(- j Cb1ClX + 61 J UcIx)1 (9)

Ln - bnunv = 0. (9')

При этом A2 = a2 — a\ — a'Xl B2 = Ь2 — Ь\ принадлежат к семиинвариантам уравнений Lny = 0 и MnZ = 0 соответственно.

206

Глава 4

• В справедливости этой теоремы нетрудно убедиться, рассматривая систему ОДУ, соответствующую (6):

dx dy . .

77-ч~ = -ч" = dt- УЩ

С(х, у) rj(x,y)

Сравнивая (10) с (3), сразу же находим С(хіУ) = и-1(х). Поскольку новая зависимая переменная z вводится, исходя из вида инварианта (первого интеграла) уравнения ^ = то этим инвариантом должно быть выражение yv~l = const (в силу (7)). Элементарные выкладки приводят к выражению г](х, у) = zyr-y (при v(x) = 1 инвариант у = С и ц = 0).
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 130 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed