Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
* = =s + ?»& <8>
Заметим, что (5) обобщает формулу (2.3.2), а (8) совпадает, если п = 2, с (2.3.4).
Условия теоремы 1, а также схема ее доказательства представлены на рис. 8.
188
Глава З
придем к (2). Обратно, воспользовавшись тождеством
[D - v'v~l — (к — 1)и'и~1 — Гки]ик~гу = ukv(Dt - гк), к = 1, п, придем к дифференциальному выражению Lny = unvMnz, т. е.
б) —> в). Взяв весовой множитель и s, придем к операторному тождеству:
u~s[D - г/V-1 - (s - I)U1V=1 - rku] = u-1(D — v'v-1 - rku)u1-s =
= (U-1D — V1V-1U-1 — rk)u1-s, S = 1,71,
откуда следует факторизация (5), которая коммутативна в силу теоремы 1.1.2.
в) —> г). Возьмем U)Ln(XD + ц), где Ln — приводимый оператор, т.е. удовлетворяет факторизации (2). Имеем
і
W-1It1"™ [j [D - V1V-1 -(к- I)U1U-1 - rku}(u-1D - V1V-1U-1) =
к=п
п
= V-1U[yl(U-1D - V1V-1U-1 - Tk)](U-1D - V1V-1U-1) =
к=1
п
= V-1U(U=1D - V1V-1U=1) yy(U-1D - V1V-1U=1 - гк) =
к=1
п
= (V-1D - v'v-2) yl(U-1D - v'V-1U-1 - г к) = D(V-1U-11Ln).
к=1
г) —> д). Пусть у(х) решение уравнения (1.1). Тогда в силу тождества (5) функция (7) также удовлетворяет (1.1).
д) —> е). Условиями приводимости уравнения (1.1) служат условия совместности переопределенных систем нелинейных дифференциальных уравнений типа (6.6), (6.7) и (6.8). В свою очередь, соответствующие нелинейные системы порождают соотношения между инвариантами уравнений (1.1) и (1) типа (6.9), где Iq(B), Jntk(B) = const.
е) —> ж). По теореме 6.6 преобразованиями KJI (1.4) придем к одной из канонических форм Альфана (Но), (H1),(Hn-2)- Коэффициенты этих форм, являющиеся абсолютными инвариантами Альфана, должны быть постоянными.
8. Приводимые линейные уравнения
189
ж) —> з). Автономизация уравнения (1.1) означает, что оно допускает однопараметрическую группу Ли с генератором
Х = &х,у)?+ф,у)-^ (10)
(см. (2.3.13)). Уравнению с частными производными 1-го порядка XF = ?(х,у)^+ф,у)^=0,г система ОДУ 1-го порядка.
?(х, у) +г)(х, у) = 0, а следовательно, и генератору (10) соответствует
dx - dy -dt. (11)
І{х,у) г](х,у)
Сравнивая (11) с (1.4), приходим к соотношениям ? = и~1(х), r\ = = V1V-1U-1 у, т.е. к (8).
Заметим, что критерии приводимости могут быть выведены и в обратном порядке, т. е. по цепочке:
а)^з)^ж)^е)^д)^г)^в)^б). •
Теорема 1 подытоживает многолетние исследования по приводимости. Так, условие ж) сформулировано в мемуаре (Halphen [319]), условие г) получено в диссертации (Fayet [304,305]), условие д) сформулировано в других терминах в работе (Kakeya [331]), условия б), в), з) получены в работах (Беркович [21, 50]), причем условие з) устанавливает связь между подходами Ли и Альфана.
Следствие 1. Следующие условия равносильны:
а) уравнение (1.1) приводимо к (1) заменой независимой переменной dt = u(x)dx;
б) интегральные кривые уравнения Ьп(и~гу') = 0 получаются из интегральных кривых (1.1) трансляцией по у.
• Действительно, решения уравнений Lny = 0 и Ln(u~ly') = 0 отличаются на аддитивную произвольную постоянную Cn+1. Так, если все г к различны, то общими решениями обоих уравнений служат соответственно семейства функций
П г.
у = YСкexp(rt / udx)i у = у(х) + cn+i-• k=i ^
Еще один подход к вопросам приводимости дают коммутационные представления дифференциальных операторов. В ходе доказательства теоремы 1 упоминалась нелинейная система (6.7). Взяв уравнения (6.71) и (6.7n_1), осуществив их «линеаризацию», как это делалось в п. 7, и
190
Глава З
заменив в коэффициентах линеаризованного уравнения 2-го порядка функцию v(x) на и(х), получим ЛОДО
V , ,„ (п- l)(n-2) ' -ч 2 L2 = D2 + (n-2)^D + V А 7
U
+ ---^A2 + —[3(1 - п)Ъ2 + 2(п - 2)62]гА
п+1 п+1
Итак, придем еще к одному результату, вытекающему из теоремы 1: Следствие 2. Система уравнений (Ln—bnun)y = 0, L2y = 0 совместна, причем оператор Ln допускает взвешенное коммутационное представление
[U-11L111U-2L2] =0.
Следствие 3. Из приводимости уравнения Lny = 0 следует приводимость и уравнения (Ln — Ъпип)у = 0, где и(х) удовлетворяет уравнению КШ-2
\Ir - J (іУ + -4т^2 = -4тA2- (12)
2 и 4 у иj n+l п+1 v/
Следствие 4. (см. также гл. 4). Решения нелинейных уравнений, порожденных приводимым уравнением Lny = 0, а именно уравнений
1+и
LnV - Ьпуг-п
Lny
1+та ЬпУ1^
(2oi/(l-п))' выражаются в терминах линейного уравнения
у" + ^р[Аіу = о. (13)
т. е. являются принципами нелинейной суперпозиции его решений.
Важная роль присоединенного уравнения (13) видна также из следующих двух предложений.
Предложение 1. Общее решение уравнения (12) можно представить в виде:
иг(х) = (агу2+ ?iyi)~1(a2y2 + /32j/i)_1, (0-1/? - a2?i)2 = ~^_jB2 > 0,
U2(X) = (Ay2 + Ву2У1 + Cy2)-1, B2 - AAC = -^B2 < 0,
из(я) = (ay2 + ?yi)'2, В2 = Ъ2-Ъ\ = 0;
8. Приводимые линейные уравнения
191
отметим также специальные случаи:
U4(X) = у11(ау2 + /Зуі)-1, B2 > 0; и5(х) = yf2, B2 = 0, (Ъ2 = bi = 0),