Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
1. Пусть т = Yr—> откуда ¦=- =--^—. Имеем уравнение
у
' + c(ax + ?)-(n+3'>/2yn =0. (32)
Существуют два варианта реализации метода автономизации:
а) исходя из леммы 1 и формул (8) и (9) для нахождения решений уравнения Куммера-Шварца (5) и множителя v(x) преобразования КЛ в соответствии с (6);
б) исходя из представления решений приводимого линейного уравнения с помощью теста автономизации.
Рассмотрим вариант а). Из формул (7) видно, что на роль функций преобразования и(х) и v(x) могут предварительно претендовать пары (и3,г»з), («4,W4) и («5,Wo). Впрочем, пары (из,г>з) и («5,Ws) отпадают, ибо соотношение
и+3
W1"™«2 = (ax + ?f 2 может удовлетвориться лишь при паре (w4, W4):
&ь „ п+3
(1-»)(Ьё:)-2 = -
-2 ' 2а' 2
откуда b\ = 0.
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена - Фаулера 221
Таким образом, и = (ах + ?) г, v = \Jox + ?, а бо находится из уравнения КШ-2 (5):
1м_ , 3MU Уравнение (32) (п ф — 3) подстановкой
1 2
у = \/ах + ?z, dt = (ах + ?) xdx приводится к интегрируемому в квадратурах виду
О,
(33)
Z- ^a2Z+ z71
имеет инвариантные элементарные решения
1 2
у = р\/ах + ?, --а р + рп = О,
допускает точечные симметрии с генератором
X = (ах+ 0)? + ^.
(34)
Рассмотрим вариант б). Так как уравнение у" = 0 имеет общее решение
у = С\х + C2 = V[Ci exp(ri / udx) + C2 ехр(г2 / udx)], г\ ф г2,
у = wexp(r J udx)(Ci + C2 J udx), r\ = r2 = г, то решение уравнения у" = 0 можно представить или в виде
y = (ax + ?)k [Ci(ax + вук + С2(ах + ?)-k+1] .
или в виде
у=(ах + ?) [Ci + C2 [ .
у J (ax + ?Y J
При этом должны выполняться соотношения:
V1-11U2 = (ax + ?)-¦("+3)/2,
222 ГЛАВА 4
(ах + /3)^1-™)-2 = (ах + /3)-(™+3)/2 ^k=1,
(ах + /3) к = exp(ri / udx), r\ = —Щ, T2
а
2' 2'
Вновь приходим к преобразованию (33) и генератору (34). Если п= —3, то уравнение
у" + су~3 = 0, (35)
будучи автономным, допускает симметрию с генератором Х\ = -^-, преобразованием
у = (ах + ?)z, dt = (ах + ?)~2dx (36)
приводится в себя: z + cz~3 = 0, и допускает генератор
X2 = (ах + /3)24/- + а(ах + ?)y-^-.
ох ду
Кроме того, уравнение (35) преобразованием (32) приводится к виду
2
Z- ^z+ CZ-3 = 0,
имеет инвариантное решение у = р\/ах + ?, —а2/Ар + ср~3 = 0, и допускает генератор (34), которому припишем индекс 3:
X3 = (ax + ?)?+1ayf^. (34і)
Алгебра Ли L3 имеет таблицу коммутаторов:
[X17X2] = 2аХ3, [X11X3] = аХи [X2,X3] = -аХ2,
дающих представление алгебры Ли si(2, R).
2°. Пусть 7П = ' "і"П, откуда —-— = — (п + А). Имеем уравнение
4 + п 1 — т
у" + с(ах + ?y^+^y11 = 0.
Преобразованием
и+2
у = (ах + ?) n~l z, dt = (ах + ?)~xdx
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера
223
оно сводится к виду
.. п + 5 . , Зп + 2а2
-г H--^-az H----—z + cz = О,
(п-1)2
имеет инвариантные решения
и+2
m -Ц 3(п + 2)а2 (п - I)1
допускает генератор
X = (ах + P)——I---ау—.
дх п -1 ду
3°. m = f "j"п =>. —Л— = —(п + 3). Уравнение 3 + п 1 — т
у" + с(ах + 0)-{п+г)уп = 0 (37)
подстановкой (36) сводится к автономному виду
'г + czn = 0
и допускает симметрию Xi = (ax+?)2-^-+a(ax+?)y-^-. А подстановкой
п+1
у = (ах + /3)™-1 z, (it = (ах + ?)~ldx (37) приводится к другому автономному виду
.. а(п + 3). 2(п + 1)а2 „
г +^-+ -f—z + czn = 0,
п-1 (п-1)2
имеет инвариантные решения: у = р(ах + /3) ™-1, —-^-/J + с/з™ = 0, и
(п-1)
допускает симметрию:
V і , а\ д , п + 1 д
X2 = (ах + ?)— H---ray—.
дх п-1 ду
224 Глава 4
(ї) +(Uo-^y=O,
2 и 4
и"- O0U2V = 0, и1-"и2=еаа:.
Сравнивая полученные соотношения для и и w с леммой 1, видим, что подходящей является лишь пара («5,?), что соответствует значениям и =
= M = &о = -^-2, h = T7-^i-
(1 — п) (1 — п)
а
±--X
Уравнение (38) преобразованиями у = е 1_и z, dt = dx сводится к автономным уравнениям
г, T zr^-z + , q2 ^z + czn = 0, l-n (1-n)2
имеет инвариантные решения:
±1-X rv
У = Ре > Z1 ,2р + ф" = 0,
(1 — пу
и допускает коммутативную алгебру Ли L2:
Xlt2 = -^-±T^-y^-, [X11X2] =0.
Заметим, что для получения формул преобразования можно было бы воспользоваться и вторым способом автономизации, исходя из критерия приводимости, благодаря которому общее решение уравнения у" = 0 можно представить в виде:
±—X 0 ¦Ju а ¦Ju
у = е г~пХ[de^г~пХ + С2еТ х].
Показатель нелинейности п = 2 помимо интегрируемого случая уравнения (1), соответствующего f(x) = кх~5, (см. формулы (25), (26) при значении та = 6/5) приводит также к другим интегрируемым случаям. Об этом пойдет речь в следующем п. 3.
Итак, (37) допускает некоммутативную алгебру Ли L2, где [Xi1X2] = = — аХ\.
4°. т = 1. Имеем уравнение
у" + сеахуп = 0. (38)
Функции преобразования удовлетворяют уравнениям
Iu" 3 / и' \ /, 1 Л1,2\„,2
3. Специальный случай КОУЭФ для n = 2 225
