Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
// п — 2 /9 і 3(п — 1) , 3(п —I)0
П—1 71+1 П + 1
,„ З(п-З) , ,, -, 2(п-2)(п-3) ,O9 19 , , п-1 (п-1)2 "• + I
2<п- 1) , 2(n- 1) , п +1 п + 1 w
184
Глава З
условие совместности которой есть в то же время одно из условии эквивалентности уравнений (1.2) и (1.3) при преобразовании КЛ. «Линеаризуем» уравнения (1), (2), связав с ними следующие ЛОДО:
т п2 П-2 , _щ і on~l /( 0"•-1D 2
L = D---VV D + 3—— A2 - 3——В2и,
П — 1 71+1 П + 1
о 3(п —3) , , 0 2(п — 2)(п — 3) 0
M = D3- J-YvV1D2 + ^-—W2V-2+
п-1 (п-1)2
+ ^-A2D + 2-—\{Аг - B3U3). п + 1 п+1
Теорема 1. Уравнения (1) и (2) совместны тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные утверждения:
а) ПНОД (L1 M) = D
V
б) Правый остаток Qi в алгоритме Евклида, применённый к L и М, равен нулю:
Q1=A3- IA2 - (B3 - ^B2)U3 = 0.
• Доказательство проводится так же, как и в теореме 2.3, т.е. применяется дифференциальный алгоритм Евклида к дифференциальным операторам L, М. Из утверждения б) тотчас следует выражение для инварианта Лагерра: I0 = A3 - 3/2A2.
Другой способ доказательства теоремы 1 основан на применении дифференциального результанта для нахождения инвариантов. Для построения элементов ПРез(?,М) будем «умножать» оператор L слева последовательно на D2, D и 1, а оператор M — на D и 1, учитывая при этом (1) и (2). При этом получится определитель, аналогичный (2.50). Раскрытие его вновь приведет к выражению для I0. •
Будем искать теперь условные инварианты с помощью итерированных уравнений
Предложение 1. Итерированное (формально самосопряженное и приводимое) уравнение обладает факторизацией
т TT , п то + І-2/сч п Lay = [[(D--т_1 а)у = О,
k=m
причем оператор Lu допускает взвешенную т-кратную итерацию оператора 1-го порядка
ЄХР (гг^~Г / adx) litv = ЄХР (m^I j adx)
У = О,
7. К вопросу о нахождении инвариантов для уравнения 71-го порядка 185
где а удовлетворяет уравнению Риккати
3(га- 1)
а +
та
а уравнения
У
- 1 3
п,
то + 1
Ытся к простейшим уравнениям
Z = О, z{m\t)
подстановками
1
та + 1 А2у = 0, Luy = О
О,
О
ехр(
та
adx),
ехр(
та
^ехр( / adx), / ехр(—
adx)dx adx)dx
та — 1
• Предложение 1 объединяет результаты предложений 1.4.6 и 1.4.7, а также основывается на структуре операторов приводимых уравнений (для п = 2 см. лемму 2.3.1; для произвольного та, как известно из классификаций Альфана или Форсайта, это следует из соответствия между итерированными уравнениями, преобразованиями типа KJI и простейшими вырожденными каноническими формами). •
Укажем также общий вид самосопряженного уравнения, включающего как четный, так и нечетный случаи.
Исходя из работ (Беркович [23], Krall Н. [335], Krall А. [334]), в работах (Королёв [154,155]) получено, что соответствующее уравнение может быть представлено в форме
J=O
г=о
21+3-2
+ 1
21 +J
X 2В
(21+J-2
Q
+ 1 771 + 2/-2
21+J-2
где — числа Бернулли, a Q (х) — функциональные параметры.
У
(777,-J) _
= о,
186 Глава З
8. Приводимые линейные уравнения
Пусть ЛОДУ п-го порядка представлено в полуканонической форме (1.1).
Определение 1. Уравнение (1.1) будем называть локально приводимым (по Альфану), если оно преобразованием КЛ (1.4) приводится к уравнению с постоянными коэффициентами
MnZ = J2 ( t) bkz{n-k)(t) = О, Ък = const, бо = I- (1)
Теорема 1. Следующие условия равносильны:
а) уравнение (1.1) приводимо;
б) уравнение (1.1) допускает некоммутативную факторизацию
і
Ln=W[D{k-l)%-rkv] (2)
к=п
через операторы 1-го порядка, где
П—1 /> г.
V = \и\ 2 ехр(— / a\dx)(bi I udx), (3)
a rk — корни характеристического уравнения
Mn(r)=.rn + j2(nk)bkrn-k=0; (4)
k=l ^ '
в) уравнение (1.1) допускает коммутативную факторизацию с весом и~п :
п
fc=i
г) существуют четыре функции ui, w, X, и, связанные соотношениями
и> = V-1W1-™, W = V-1W-™, Л = и-1, и = —Vі'г;-1и-1, такими, что
UjLn(XD + и)у = D[wLny}; (6)
8. Приводимые линейные уравнения 187
д
Рис. 8.
(1.4)
• а) —> б). Пусть (1.1) -> (1). Представим (1) в виде
п
Mnz=\\(Dt-rk)z, (9)
k=l
где Гк — корни характеристического уравнения (4). Применив к (9) преобразование, обратное (1.4): z = v~xy, dx = u~ldt, придем к фактори-1
зации unv Yi (VT1D — rk)v~1y. Последовательно применяя операторное
к=п
тождество
[D - V1V'1 -(к- V)U1U-1 - TkU]U-11V'1 = и™-^"1 (M-1L» - гк), к = Т~п,
д) если у(х) — решение уравнения (1.1), то и функция
П*) = У-?іУ (7)
также является решением (1.1) (иными словами, уравнение (1.1) допускает преобразование Эйлера-Имшенецкого-Дарбу, или автопреобразование Бэклунда);
е) инвариант Лагерра Iq и псевдоинварианты Jn^ связаны между собой (п — 2) соотношениями типа (6.9), где Iq(B), Jn^(B) = const;
ж) абсолютные инварианты Альфана /? = const;
з) уравнение (1.1) допускает однопараметрические группы Ли симметрии с генераторами вида
