Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4. Интегрирование КОУЭФ (1), (10) можно свести к интегрированию (1) при условии, что f(x) удовлетворяет уравнению
f'(x) = kfm, (25)
тє[1,|±^]. (26)
• Прежде всего покажем, что задачу (1), (10) можно преобразовать к виду (1), (25), где показатель т может быть произвольным. Обозначим законы изменения f(x), описываемые формулами (10), соответственно через /1,/2, /з, /4, /5- Очевидно, что /4 и /5 удовлетворяют уравнению (25), где
—оо < т < +оо.
(27)
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена —Фаулера 217
где
a-2 - «i/3i до /г
C = -т.-, «lP2 — «2Pl = —Oil = VO.
Таким образом, функция J1 (x) переходит в
tpi(t) = (aix + ?i)
и+3 Ьі(і-та) 2
Чтобы убедиться в том, что /2(2;) также переходит в ip±(t), достаточно представить f2(x) в виде /і(х) с комплексными коэффициентами. Рассмотрим теперь
/3^) = (^+/3)-(™+3)
ехр
1 — П Ol
Т 2q ах+ /3
Применим преобразование вида (23):
/з(х) = (ах + /3)-(n+3Vs(i), (ft = (ах + ?)~2dx.
Так как ? =---—-—— + с, где с примем равным —/3/а, то ах + /3 :
а(аж + р)
= —l/(at + /3). Тогда /з(х) переходит в
^5(O = ?>о ехр(±1 n6it), (/з0 = const.
Однако преобразованиями вида (23) законы (i = 1,5) переходят друг в друга по схеме:
/і и /2 /4, /з /б> /4 /4-Действительно, пусть /(а;) изменяется по закону
га+З и+3 Ьі (1 —
U(X) = Ia1XTp1)' 2 2^ (a2x + ?2)~ 2 Т 2^ . Применим к J1(X) преобразование вида (23):
/і(х) = (агх + /3i)-("+3V4(t), dt = (агх + ?^dx. Приходим к выражению
f ( s_( a2X + ?2\" 2___1 „
/lW~Ui* + /?J ' ai(aia: + A) '
218
Глава 4
Рассмотрим далее
Z4(X) = (ах + /3)-(п+3)/2 ±М1-™)/(2«). Применяя преобразование
f4(x) = (ax + ?)-(n+3)(p4(t), ax + ?--
at + ?' получим
Mt) = M^t + ?)-(n+3)/2Tbl(l-n)/(2a)
шм обра ний M. Наконец, рассмотрим
Таким образом, семейства решений ff~ переходят в семейства реше-
/5 = /о ехр у^~2^ bix
Применим преобразование
f5(x) = (ах + ?)-(n+3)Mt), ax + ? =---I—; получим
at + ?
ср3(і) = М + /3)-(п+3)ехР
1 — n bi
2a a(ax + ?)
Однако, если f(x) имеет вид f4(x) или f5(x), в применении преобразования (23) нет необходимости.
Итак, показано, что задача интегрирования (1), (10) может быть сведена к задаче интегрирования (1), (25), (27). Для окончания доказательства остается показать, что бесконечный интервал изменения гп (27) может быть сужен до конечного интервала (26).
Применим преобразование (23) к семейству интегральных кривых уравнения типа (25), а именно к
f(x) = (ах +?)l/{1~m\ тф\. Результатом преобразования является семейство кривых
4+п-т(3+и)
(fi(t) = (ах + ?)
т— 1
2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена —Фаулера 219
У = Pf
-1/(п+3)
к±
Ьі{1-П) I f'^dx
п ф -3, (29)
Ъ0р + срп = О, a f(x) удовлетворяет формулам (10), или
y = pv{x)1 (30)
и v(x) находится по формулам (9) (bo ф 0).
• Очевидно, что автономное уравнение (2) имеет стационарное решение z = p = const (при bo ф 0), откуда уравнение (1) имеет точные частные решения вида (30). Выразим v(x) через /(ж). Используя (6), (12) и (30), придем к (29). •
Лемма 6. Уравнение
у" + f(x)y~3 = 0,
приводимое к автономному виду преобразованием KJI (3), допускает точное частное решение (30), где р удовлетворяет алгебраическому уравнению Ъор + ср~3 = 0, a v(x) находится по формулам (9) (bo ф 0, bi ф 0). При этом f(x) находится по формулам (10), где п = —3.
• Доказательство проводится простым счётом. •
Оно является решением уравнения вида
m(n + 4) - (п + 5) т(п + 3) — (п + 4)
Если m Є [—оо,0], то /і Є [^n, |"т~^)і если m є [ОД)' то /і є [1, если т Є [I7 не переходим на ось /і. Наконец, если
^ є I4T^' +00)' то ^ є (f+^' |+^]• Таким 06Pa30m' если ш є (-°°, 1I а т Є (gq—^¦,+oo), то перейдем заменой переменных к (21), (28), где
/і Є 1, —— .•
3 + п'
2.4. Точные частные решения КОУЭФ
Автономизация открывает путь как для полного интегрирования (1), так и для качественного исследования ОДУ.
Лемма 5. Уравнение (1), приводимое к автономному виду (2) преобразованием KJI (3), допускает точное частное решение
2/(1-п)
220
Глава 4
2.5. Первый интеграл КОУЭФ
Лемма 7. Задача (1), (13) допускают первый интеграл (первый дифференциальный инвариант)
_2(п+7) . .2 _2_ п+1
h=f "+3 (fy' + ^fy) +bofn+3y2 + -^jfn+3yn+1- (31)
• Интегрирование уравнения (2) (при Ь\ = 0) дает z2 + boz2 + + n^ ^zn+1 = 0, отісуда, выражая z,z через y,u,v согласно преобразованию КЛ (1.3), а также и и v — через /, получим (31). •
2.6. Точечные симметрии и интегрируемость приведенного канонического уравнения Эмдена - Фаулера
Как было ранее показано, интегрирование уравнения (1), (10) может быть сведено к интегрированию уравнения (25), (26) (см. теорему 4).
Будем называть в этом случае уравнение (1), (25), (26) приведенным каноническим уравнением Эмдена - Фаулера (ПКУЭФ).
Рассмотрим характерные случаи уравнения ПКУЭФ.
іОтт 5 + п 1 n + 3 тт
